多自由度体系强迫振动

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1、多自由度体系强迫振动重点：最大动位移最大动弯矩振型叠加法难点：建立方程方程系数的求法强迫振动，振型叠加法一、振动方程1.柔度法2.刚度法考虑第i质点的受力平衡二、振动方程的解当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。其形式为三、振型叠加法1.主振型的正交性刚度法表示的振型方程考虑第j振型方程在上式中左乘-----------（1）再考虑第i振型在上式中左乘----------(2)求（2）式的转置-----------（3）由（1），（3）两式相减，得由于≠，所以有振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第

2、二正交性-----------（1）2.振型叠加法n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位移反应可写作称为广义坐标------称为振型矩阵又可写作现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：称为阻尼矩阵。其意义如下i=1，2，...，n。它是由各质点的速度引起的在i质点的阻尼力的叠加方程是藕合的，为了解藕，令式中，α，β为两个常数，可由前两个振型获得把代入上述方程以左乘上式，先考虑其第一项的系数注意到正交性，上式为：同理，方程左边第三项的系数变成记则，方程左边第二项的系数变成记方程解藕为：记

3、求出后，利用求位移反应[计算举例]1．求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。已知，各杆长L，不计阻尼。PsinθtmmEIEIEIEI1=∞解：1）两个动力自由度，时刻t质点的位置如图2）用刚度法建立振动方程在时刻t,2个质点都处于平衡平衡方程：m1m2恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的求恢复力122个质点分别有不同的位移，不容易确定各自恢复力的大小。为此，仍然采用叠加法。1K11K21支杆1单位位移3i/LK121K22支杆2单位位移6i/L6i/L3i/L6i/L求恢复力当质点各有位移，时，由叠加原理式中矩阵表达式3）方程的解---

4、--最大动位移以代入方程中此就是最大动位移4)最大动力弯矩图1K11K21支杆1单位位移3i/LK121K22支杆2单位位移6i/L6i/L3i/L6i/L4PL/134PL/134PL/13PL/134PL/13例题2.求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动力荷载幅值为1KN，EI=9×103kN·m2，不计阻尼。2m2m1sinθtmEIEI1sinθtm解：1)2个动力自由度，用柔度法2）任意时刻t质点的位置如图3）振动方程的形式1sinθtm由2个方向的惯性力及动力荷载共同产生建立方程的依据：4）求方程中各系数P=1P=1P=122

5、2MP图求出各系数5）解方程代入振动方程解得两质点的位移幅值（最大动位移）：米米6）作最大动力弯矩图P=1P=1P=1222MP图最大惯性力P=1P=1P=1222MP图1.56521.8261动载向右1.56522.1738动载向左例题3用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，ξ1=ξ2=0.10，动力荷载幅值为1KN，，EI=9×103kN·m2解：1)求自振频率和振型2m2m1sinθtmEIEI用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵[K]2)求广义质量、广义刚度、广义荷载-------（1）--------（2）3）求解（1）、（

6、2）可用杜哈美积分4）位移反应整理后得与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。米米不考虑阻尼影响结果例题4LKmmKmmK11K21KmmK12K22LKmm如何调整m及KN使得上质点不振动？例题5m1m2EIEIEIEILL例题6LLL/2L/2AEIEIEIEI1=∞mm1K11K211K12K22怎么建立方程？运用之妙，存乎于心正确的受力分析，是解决问题的前提q4m3m3mEIEI你能画出下列结构的变形图吗？q4m3m3mEIEI4.5q4.5q3P=1M=114/3M=114/34.5q

7、P=14PP跷跷板4m3m3mEIEIm你能建立质点的振动方程吗？3P=14.5q4PP