第2章——多自由度系统的振动——强迫振动

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1、船体振动基础1第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾正则振型⎧(i)(i)⎫⎧(i)⎫Φ(Φ)Φ1n1⎪⎪⎪⎪⎪(i)(i)⎪⎪(i)⎪Φ(Φ)Φ2n2⎪⎪(i)⎪⎪(i)⎪⎪取Φn=1(i)⎪⎪Φ=⎨M⎬Φ=⎨M⎬“归一化”⎪⎪⎪⎪(i)(i)(i)⎪Φ(Φ)⎪⎪Φ⎪n−1nn−1⎪⎪⎪⎪⎪(i)⎪⎪⎪Φ1⎩n⎭⎩⎭若令相应于主振型Φ(i)的主质量M=1，这种特定的归pi一化方法称为正则化（正规化）；所得到的主振型称为正则振型(i)(i)设系统的第i阶正则振型为Ψ，第i阶主振型为Φ(i)(i)令Ψ=ciΦ上节课内容的回顾由定义(Ψ(i)

2、)TMΨ(i)=1ΨMΨ=2((i))T(i)2cΦMΦ=ciMpi=1i111c=c=c=iiiMnnnpi(i)⎛⎜(i)⎞⎟∑m(Φ(i))2∑Φj⎜∑mjkΦk⎟jjjk==11⎝⎠j=1(i)1(i)Ψ=ΦΨ=[Ψ(1)Ψ(2)LLΨ(n)]Mpi正则振型矩阵TTΨMΨ=IΨKΨ=ω上节课内容的回顾书上例题P49：例2.9上节课内容的回顾¾振动方程组解耦F1F2k1k2k3•两自由度弹簧-质量m1m2系统x1x2m&x&+(k+k)x−kx=F11121221振动微分方程组m&x&−kx+(k+k)x=F22212322⎡m10⎤⎧&x&1⎫⎡k1+k2−k2⎤

3、⎧x1⎫⎧F1⎫矩阵形式：⎢⎥⎨⎬+⎢⎥⎨⎬=⎨⎬⎣0m2⎦⎩&x&2⎭⎣−k2k2+k3⎦⎩x2⎭⎩F2⎭m&x&+2kx−kx=F1121如果m=m=m，k=k=k=k12123m&x&−kx+2kx=F2122m&x&+2kx−kx=F(1)1121m&x&−kx+2kx=F(2)2122(2)－(1)：m(&x&2−&x&1)+3k(x2−x1)=F2−F1(2)＋(1)：m(&x&+&x&)+k(x+x)=F+F212121y1=x2−x1Q1=F2−F1引入坐标变换：定义广义力：y2=x2+x1Q2=F2+F1m&y&+3ky=Q111m&y&+ky=Q222

4、⎡m0⎤⎡3k0⎤质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵:[]M=⎢⎥[]K=⎢⎥⎣0m⎦⎣0k⎦质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关上节课内容的回顾¾通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵难以实现。¾通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（解耦）——振动模态分析的基本思路。•系统的振动表示为所有n个主振动的叠加¾对多自由度系统振动求响应求解的类型：©无阻尼振动系统对初始条件的响应©无阻尼振动系统对任意激励的响应©有阻尼振动系统对各种激励的响应（简谐激励、周期激励、任意激励）阻尼的表达与处理：一、什么情况下需要讨论阻尼的影响？1、系统的阻尼很小

5、，而且激励频率又远离共振频率，阻尼效应影响很小，可以忽略不计。2、当激励频率接近固有频率时，阻尼的影响显著，便不能忽略。阻尼的表达与处理：二、阻尼的表达与处理。1、由于阻尼机理很复杂，通常采用粘性阻尼假设，即假设系统的阻尼力与速度的一次方成正比。2、在结构动力分析中，经常采用的是以下的瑞利阻尼假设，即阻尼矩阵C为如下形式：C=αβMK+βα,β—比例常数。阻尼的表达与处理：二、阻尼的表达与处理。C=αMK+βα,β—比例常数。上式表示阻尼矩阵正比于质量矩阵，β=0;或正比于刚度矩阵α=0，或者正比于它们的线性组合，称这种阻尼为比例阻尼。阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。

6、设Φ为正则化振型，则：TTTΦCMKΦ=ΦαΦ+ΦβαΦ=I+Λβ式中，I—单位矩阵；Λ—对角矩阵。2Λ=diag(ωnr)。阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。单自由度系统，有阻尼的振动微分方程式为P9：MxCxKx&&+&+=Psin(ωt+β)2P00&&xx++2sωζ&ωωx=in(t+β)nn或:Mcccn阻尼比:ζ====2mcωω2kmncn2令:αβω+=2ωζnrnrr称ζ为振型或模态2rαβ+ββωαβωnrnrζ==+比例阻尼比:r222ωωnrnr阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。2ζαβ+ββωnrαβωnr称r为振型或模态ζ==+r222ω

7、ωnrnr比例阻尼比:(1)当阻尼矩阵正比于质量矩阵（β=0）时，阻尼比与频率成反比，因此在系统的响应中，低阶振型起的作用较小；(2)当阻尼矩阵正比于刚度矩阵（α=0）时，阻尼比与频率成正比，因此在系统的响应中，则高阶振型起的作用较小。(3)可以通过选择适当的α与β，可以近似地反映实际振动系统中的阻尼影响。阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。(1)由于阻尼的机理很复杂，至今都没有完全清楚，故难以精确的确定阻尼矩阵，通常采用实验测定的方法近似地确定阻尼比。(2)但是由于系统并非总是比例阻尼，因此，可以近似的取值，尤其阻尼比很小时