北京科技大学计算方法试题(2)

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1、一、填空题（1-7每空2%*10，8-9每空3%*10）1、数值的近似值，若满足（），则称有4位有效数字.2、已知,则范数=5，=(28).3、解非线性方程的牛顿迭代法在3重根附近是（线性）收敛的。4、若，则其10阶差商105、求解常微分方程初值问题的梯形公式为或。6、若系数矩阵是（严格对角占优）阵，则求解线性方程组的雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法都收敛。7、复化抛物线公式的收敛阶是（4）。8、给定矩阵，则其雅可比迭代矩阵为（），高斯－赛德尔迭代矩阵为（）。9、利用Romberg序列，近似计算，若，，则=(0).二、（10分）使用

2、LU分解求解方程十解：LU分解6分，L和U各3分，个别数据错误酌情扣分每个解1分三、（10分）已知正弦函数表:x21。22。24。25。十f(x)0.355370.376410.406740.42262用Newton插值求sin23的近似值，并估计误差。（注）解：（1）xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商210.35537220.376410.02104240.406740.015165-0.0019583250.422620.015880.000238330.000549167每个差商1分，共6分插值2分其中注意到误差或误差分析2分

3、注实际值（2）xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商0.355370.376411.205500.406740.86889-6.445740.422620.909860.76265103.25727每个差商1分，共6分十插值2分其中注意到误差或误差分析2分注实际值四、（10分）使用牛顿迭代法求解方程在区间上的解，要求精确到小数点后3位。解：迭代公式迭代公式2分选择初始点需要下面每步迭代2分（基本上仅需四次迭代）共8分（1）取（2）取（3）取十五、（12分）找出合适的使求积公式代数精度尽可能高。并给出此最高代数精确度。解：令令=0令令令令

4、若原求积公式有4次以上的代数精确度，需要上述三个方程每个2分由（1）得（4）将代入（2）（3）十得和即和所以求解得(1分)所以(1分)(2分)即由前面的分析求解过程知当时等式左右均相等而时，而所以在，和时达到最高代数精确度5。验证最高精度2分六、（10分）找出合适的四次多项式，使得且，。解：（方法一）因为所以(2分)又为四次多项式，所以为一次多项式，设，（1分）则（1分）（1分）(1分)(1分)十解得(2分)所以(1分)（方法二）设则每个方程1分解得a=0,b=-3,c=8,d=-5,e=1每个系数1分(方法3)使用基函数其中求得十

5、每个基函数1分七、(10分)取h=0.1,用改进欧拉法求初值问题在x=0.1,0.2，0.3处的近似值.计算过程保留4位小数.解：（2分）（2分）（3分）（3分）八、（13分）用二次多项式最小二乘拟合如下数据x-3-1013y1.752.453.814.807.01(1)利用正交化方法求这些结点的前三个正交多项式。(2)利用正交多项式求出最小二乘拟合的二次多项式，并计算出其平方误差。解：（1）（1分）十，。（2分），，。4，。（2分）（2）x-3-1013y1.752.453.814.807.0111111-3-10135-3-4-

6、35（每个系数2分）（1分）平方误差=（1分）注:若使用分数计算十平方误差=十