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1、第三章复变函数的积分3．1基本要求与内容提要3．1．1基本要求1．正确理解复变函数积分的概念.2．掌握复变函数积分的一般计算法.3．掌握并能运用柯西―古萨基本定理和牛顿―莱布尼茨公式来计算积分.4．掌握复合闭路定理并能运用其运算积分.5．掌握并能熟练运用柯西积分公式.6．掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分.3．1．2内容提要复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都是通过复积分证明的.1．复积分的定义与计算定义3.1设是平面上一条光滑的简单曲线.其起点为终点为（图3.1），函数在上定义，把曲线
2、任意分成年个小弧段.设分点为,其中，每个弧段上任取一点，作和式(3.1)其中.设，当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖对的分法，那么就称此极限值为沿曲线自到的复积分，记作(3.2)沿负方向（即由到）的积分记作；当为闭曲线，那么此闭曲线的积分就记作（的正向为逆时针方向）.定理3.1设在光滑曲线上连续，则复积分存在，而且可以表示为(3.3)注1．当是连续函数而是光滑曲线时，积分一定存在注2．可以通过两个二元函数的线积分来计算注3．设，则1．复积分的基本性质（1）其中为复常数;（2）（3）（4）其中C=（5）(3.4)3.柯西积分定理定理3.2(柯西
3、定理)设函数在单连通区域内解析,则在内沿任意一条简单的闭曲线的积分注:若C是区域的边界，f(z)在内解析，在闭区域上连续，那么定理依然成立，这时也称该定理为柯西―古萨定理.定理3.3设函数f(z)在单连通区域内解析，与为内任意两点，与为连结与积分路线，,都含于（图3.2），则即当f为的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点与终点来确定.下面把柯西定理推广到多连通区域.定理3.4设与是两条简单闭曲线，在的内部,f(z)在与所围的二连域内解析，而在上连续，则(3.5)式(3.5)说明，在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，
4、这一事实，称为闭路变形原理推论（复合闭路定理）设为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不想交，并且以C，为边界的区域全含于(图3.4).如果在内解析，则有(3.6)其中及均取正方向；这里为由及(k=1,2…..,n)所组成的复合闭路（其方向是：按逆时针进行，按顺时针进行）定理3.5如果F(z)是单连通区域D内的解析函数，那么，由变上限的积分所确定的函数F(z)=也是D内的解析函数，而且基于定理3.5，我们引入原函数的概念.定义3.2设在单连通区域内，函数F(z)恒满足条件，则称F(z)是f(z)的原函数.容易证明，若G(z)是f(z)的
5、一个原函数，则对任意常数C，G(z)+C都是f(z)的原函数；而f(z)的任一原函数必可表示为G(z)+C，其中C是某一常数，得用这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的积分计算公式.[定理3.6设f(z)在单连域内解析G(z)为f(z)的一个原函数，则(3.7)其中，为内的点.[定理3.7柯西积分公式]设f(z)在简单闭曲线所围成的区域内解析，在上连续是内任一点，则f()=推论1（平均积分公式）设在简单闭曲线内解析.在连续，则推论2设f(z)在简单闭曲线所围成的二连域D内解析，并在上连续，在的内部,为内一点，则(3.8)我们可以把作变数看待，(3.8
6、)式写如下形式：f(z)=其中z在C的内部定理3.8（最大模原理）设函数f(z)在区域D内解析，又f(z)不是常数，则在D内
7、f(z)
8、没有最大值.推论1在域D内解析的函数，若其模D的内点达到最大值，则此函数必恒为常数.推论2若f(z)在有界域D内解析，在上连续，则
9、f(z)
10、必在的边界D上达到最大模.、定理3.9（高阶导数公式）设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，而在=上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点，有(n=1,2…)(3.9)3.2,典型例题与解题方法例１，计算积分,其中C为；（1）连接O到1+i的直线段；（2）抛物线y=上
11、由O到1+i的弧段；（3）连接O到1再到1+i的折线，如图3.6.解（1）积分路径的参数方程为z(t)=t+it(0)，于是Rez=t,dz=(1+i)dt，因此.（2）积分路径的参数方程为z(t)=t+i(0)于是Rez=t,dz=(1+2it)dt，因此，=（3）积分路径由两条直线段构成，由x轴上O到1的线段其参数方程为z=t(0)，此时Rez=t,dz=dt；由1到1+i的线段的参数为z=1+it(0)，此时dz=idt,Rez=1，因此.=注：此积分与积分路径有关.例2已知f(z)=，计算其中：沿实轴从1到0，再沿虚轴由0到i；：沿x+y=1
