变分法补充讲义

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1、变分法补充讲义（2004-02-17）1．变分法的基本预备定理（基本引理）如果函数f(x)在线段(x0,x1)上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数h(x)（例如，一阶或若干阶可微，在线段(x0,x1)的端点处为0，h(x)

2、h(x)

3、

4、h’(x)

5、

6、图所示的可选取：其中，k未常数，n正整数。则连续，且有直到2n-1阶连续导数。1．（1.7）节补充（1）泛函变分的定义引理：泛函的变分证明：定义泛函的变分为泛函增量的线性主部，即当泛函增量可以表示成：其中，为关于的线性泛函，当。我们将这时，取函数的增量为，即增加一个因子。计算对于的导数在=0时的取值：（由于是对求导，=0，）当时，，而，为有限小量。∴后一项极限为0∴（2）泛函数极值的必要条件：定理：若可微泛函在上达到极小（大）值，则在上有。证明：对于任意给定的来说，是实变量a的函数。由定理的假设可知，函数在a=0时达到极值，所以在a=0时，导数

7、为0，即由泛函变分的另一种定义，知左边等于泛函的变分，又由于是任意给定的，从而定理得证。又证明：（从第一种定义证明）。由泛函极值的定义，若在上达到极值，则存在的一个邻域，对于该邻域内的任一容许函数，泛函增量不变号。而当时，DJ=0。又由泛函变分的定义，当变分存在时，泛函的变分与函数的变分之间具有线性关系。显然，在这种情况下，若要求对任意的足够小的，相应的泛函增量（即泛函的变分）均不变号，则必须有=0。1．导数的表示一．对数量变量的导数n维函数向量的导数为n´m维矩阵函数的导数为二．对向量变量的导数函数是以向量为自变量的数量函数，x为n维列向量。

8、即或函数，其中。它是以n维向量为自变量的m维函数向量，，称为Jacobi矩阵。（另一种形式为）函数是n维向量变量x的m´l维函数矩阵则或三．对矩阵变量的导数对n´m矩阵变量X的数量函数，其中对n´m矩阵变量X的l维函数向量，其中，对n´m矩阵变量X的l´p维函数矩阵，其中定义运算子矩阵则其中，Ä表示积，