变分法讲义 第六章.pdf

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1、18Ù©ãëY¼ê8þ4¯K§1©ãëY¼ê½n.[a,b]«mþëY¼êyˆ¤©ãëY§e3[a,b]k©µa=α0<α1<···<αN+1=b¦yˆ∈C1[α,α],i=1,2,···,Nii+1¡αi,i=1,2,···,Nyˆ(x):"5.C1[a,b]⊂Cˆ1[a,b]⊂C[a,b]§Ù¥©ãëY¼êNPCˆ1[a,b]½Â.0yˆ(x)x∈[a,b]

2、{α1,···,αN}0yˆ(x)=yˆ−0(x)½yˆ00(x)x∈{α1,···,αN}Ún.yˆ∈Cˆ1[a,b]§KZx0yˆ(x)=ˆy(a)+

3、yˆ(x)dxay²∀x∈[a,b],x∈[αk,αk+1],06k6Nyˆ(x)−yˆ(a)=ˆy(x)−yˆ(αk)+ˆy(αk)−yˆ(αk−1)+···+ˆy(α1)−yˆ(α0)ZxZαkZα1000=yˆ(x)dx+yˆ(x)dx+···+yˆ(x)dxαkαk−1α0Zx0=yˆ(x)dxα0íØ.yˆ(x)∈Cˆ1[a,b]Rb1.yˆ02dx=0⇒y0=0x∈[a,b]a11©ãëY¼ê22.y0≡0⇒yˆ≡const1µéC1[a,b]¥¼êS5%CCˆ1[a,b]¥¼ê"Ún.∀yˆ∈Cˆ1[a,b],

4、∀δ>0,∃y∈C1[a,b]¦[Ny(x)=ˆy(x)x∈[a,b]Bδ(αi)i=1Ù¥{α,···,α}´yˆ(x):N§B(α)=(α−δ,α+δ)

5、y0(x)

6、63max

7、yˆ0(x)

8、1NδiiiÏd,

9、y(x)−yˆ(x)

10、6c·δÙ¥~êcyˆk'δÃ'"y²eyˆk:α1Xã§y0(x)∈C[a,b]¦yˆ0(x)x∈[a,b][α1−δ,α1+δ]hx=α10y(x)=5¼êx∈[α1−δ,α1]5¼êx∈[α1,α1+δ]Zx0y(x):=ˆy(a)+y(x)dxaw,§

11、y(x)=ˆy(x)§x6α1−δ¦y(x)=ˆy(x)§x>α1+δ¤á§Iy(α1+δ)=ˆy(α1+δ)1©ãëY¼ê3½=y(α1+δ)−y(α1−δ)=ˆy(α1+δ)−yˆ(α1−δ)d=Zα1+δZα1+δ00y(x)dx=yˆ(x)dx=Aδα1−δα1−δyˆ0(c−δ)+hyˆ0(c+δ)+h·δ+·δ=Aδ22Aδyˆ0(c−δ)+ˆy0(c+δ)h=−δ2PM=max

12、yˆ0(x)

13、x∈[a,b]

14、Aδ

15、6M·2δ

16、h

17、62M+M=3M000

18、y(x)

19、6max{M,

20、h

21、,

22、yˆ(c−δ)

23、,

24、yˆ(c+

25、δ)

26、}63M

27、y−yˆ

28、63M·δx∈[a,b]eyˆkN:§α1,···,αN§K3z:XþÀJhk=§dk=1,···,NZx00

29、y(x)−yˆ(x)

30、=

31、(y(x)−yˆ(x))dx

32、aZαk+δk006

33、y(x)−yˆ(x)

34、dxαk−δk64M·δ=c·δ5.Aδ00lim=ˆy(α,−0)+ˆy(α,+0)δ=0δyˆ0(α−0)+ˆy0(α+0)limh=δ=02∀x∈[α1−δ,α1]h−y0(α−δ)y0(x)=ˆy0(α,δ)+1(x−α+δ)11δh−y0(α−δ)y0(x)−yˆ0(x)=ˆy0(α−δ

35、)+1(x−α+δ)−yˆ0(x)11δ

36、yˆ0(α+0)−yˆ0(α−0)

37、∴limmax{y0(x)−yˆ0(x)}611δ→0x∈[α1−δ,α1]2Ïd§

38、yˆ0(α+0)−yˆ0(α−0)

39、∴limmax{y0(x)−yˆ0(x)}6maxkkδ→0x∈[a,b]16k6N22Cˆ1þÈ©¼r!fÛÜ44§2Cˆ1þÈ©¼r!fÛÜ4f(x,y,z)∈C([a,b]×R×R)ZbZb0F(ˆy)=f(x,yˆ(x),yˆ(x))dx=f[ˆy(x)]dxaa½n.ef∈C([a,b]×R×R)§K∀yˆ∈Cˆ1[a,b]

40、,∀ε>0,∃y∈C1[a,b]¦ε

41、yε−yˆ

42、C0<ε

43、F(yε)−F(ˆy)

44、<εy²PM=kyˆk0Cˆ1=maxx∈[a,b]{

45、yˆ(x)

46、+

47、yˆ(x)

48、}∀1>δ>0,∃yδ000

49、yδ−yˆ

50、

51、yδ

52、<3M0

53、yδ−y

54、<4δ

55、yδ

56、

57、y

58、,

59、y0

60、,

61、yˆ

62、,

63、yˆ0

64、

65、f(x,y,z)

66、3[a,b]×[−m,m]×[−m,m]þMK

67、F(yδ)−F(ˆy)

68、6MN2δ1ε∀ε>0§δ=min{2,1}Py=y="ε4M+2MNεδε3Cˆ1[a,b]þÏ~½Â

69、üêµ(f)ê(C1ê)0kyˆkC1=max{

70、yˆ(x)

71、+

72、yˆ(x)

73、}[a,b](f)Wδ(ˆy0)={yˆ

74、kyˆ−yˆ0kCˆ1<δ}rê(C0ê)kyˆkC0=max{

75、yˆ(x)

76、}[a,b]rSδ