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《最优化与最优控制讲义 第2章 变分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2.5等式约束条件的泛函极值问题－Lagrange乘子法1．函数极值问题的两种解法从代数和微积分我们知道，函数求极值问题有两种不同解法——直接消元法和Lagrange(拉格朗日)乘数法。例：容器制造问题考虑在表面积A一定情况下容积最大的圆柱形容器尺寸。设容器高为l，半径为r，则容器的容积V和表面积A分别为2V(r,l)=πrl（2-5-1）2A(r,l)=2πr+2πrl=A（2-5-02）则该问题即为在约束条件A(r,l)=A下，求V(r,l)最大值。0（1）消元法2A−2πr由（2-5-2）式可得l=0（2-5-2πr3代入（）2-5-1）式得r3V(r)=
2、A−πr（2-5-024将其对）r求导数并令其为0，有dV12=A−3πr=0（2-5-0dr25）AA解之得r=0，代入（2-5-3）式得l=20，此时即为在表面积A约束下容06π6π器容积最大时r和l的取值。（2）Lagrange乘数法等式约束条件下多元函数极值的Lagrange乘数法的提法为：欲求函数z=f(x,y)在条件函数ϕ(x,y)=0约束下的极值点，可构造函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)其中λ是一个待定系数，称为Lagrange乘数（乘子）。则对F(x,y,λ)求极值，应满足下列极值条件∂F∂f∂ϕ=+λ=0∂x∂x∂x∂F∂f∂
3、ϕ=+λ=0∂y∂y∂y15∂F=ϕ(x,y)=0∂λ解此方程组求得x、y和λ，其中x、y就是该条件极值问题的可能极值点。用Lagrange乘数法解本例题，有22F(r,l,λ)=V(r,l)+λ[A(r,l)−A]=πrl+λ(2πr+2πrl−A)（2-5-006应满足极值条件为）∂F=2πrl+λ(4πr+2πl)=0（2-5-∂r7）∂F2=πr+2λπl=0（2-5-∂l8）∂F2=2πr+2πrl−A0=0（2-5-∂λ9）AAA0解此方程组可得r=0，l=20，λ=，与消元法结果相同。6π6π24π2．求泛函极值的Lagrange乘子法考虑泛函tf
4、J(x)=∫L(x,x&,t)dt（2-5-t010在等式约束条件）f(x,t)=0（2-5-11）T约束下的极值问题。其中f=[f1,f2,L,fn]是n维向量函数。类似于求函数极值的Lagrange乘数法，定义下列广义泛函tfTJ(x,λ)={L(x,x&,t)+λ(t)f(x,t)}dta∫t0tf（2-5-=L(x,x&,λ,t)dt∫ta012其中）λ(t)为n╳1维向量，称为Lagrange乘子(multiplier)，又称协态变量(costate)。当x满足（2-5-11）式时，则对任意λ(t)都有Ja=J。对（2-5-12）式，可以用Taylor
5、级数展开求Ja（x,λ）的一阶变分。tf∂LaT∂LaT&∂LaTδJ(x,λ)={[]δx+[]δx+[]δλ}dta∫t0∂x∂x&∂λ（2-5-tf∂LTT∂f∂LT&T=∫{[()+λ]δx+[]δx+f(x,t)δλ}dtt0∂x∂x∂x&13）用分部积分法消去δx&，得tf∂LTT∂fd∂LTT∂LTtfδJ(x,λ)={[()+λ−()]δx+f(x,t)δλ}dt+()δxa∫tt00∂x∂xdt∂x&∂x&（2-5-14）假设考虑的是端点固定问题，则上式最后一项为零。又由达到极值时的极值轨线xˆ应满足等式约束条件f(xˆ,t)=0，即上式中δλ
6、16前系数为零，δλ可任意取值。由泛函取极值的必要条件一阶变分为零，即δJa(x,t)=0，可得∂LTT∂fd∂LT()+λ−()=0（2-5-∂x∂xdt∂x&15）T由（2-5-12）式中La(x,x&,λ,t)=L(x,x&,t)+λ(t)f(x,t)，（2-5-15）式也可表示为∂d∂L(x,x&,λ,t)+L(x,x&,λ,t)=0（2-5-aa∂xdt∂x&16（）2-5-16）式即为对应广义泛函Ja（x,λ）的欧拉方程，它与约束条件（2-5-11）构成求泛函极值的必要条件。3．具有微分方程等式约束的泛函极值进一步讨论泛函tfJ(x)=∫L(x,x&
7、,t)dt（2-5-t017在微分方程等式约束条件）f(x,x&,t)=0（2-5-18）T约束下的极值问题。其中f=[f1,f2,L,fn]是n维向量函数。应用Lagrange乘子法，取广义泛函tfTJ(x,λ)={L(x,x&,t)+λ(t)f(x,x&,t)}dta∫t0tf（2-5-=L(x,x&,λ,t)dt∫ta019Ja的一阶变分为）tf∂LaT∂LaT&∂LaTδJ={[]δx+[]δx+[]δλ}dta∫t0∂x∂x&∂λ（2-5-tf∂LTT∂f∂LTT∂f&T&=∫{[()+λ]δx+[()+λ]δx+f(x,x,t)δλ}dtt0∂x∂x
8、∂x&∂x&20）用分部
