优化理论课件(变分法与最优控制理论)

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1、WORD格式-专业学习资料-可编辑优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。目录一、什么是动态优化？3（一）动态优化问题的基本要素4（二）泛函及其相关概念4（三）可变终结点5（四）横截条件6（五）目标泛函6二、变分法7（一）基本问题：固定终结点问题7（1）基本问题及其假定7（2）一阶条件：欧拉方程8（二）推广：多状态变量与高阶导数10（1）多状态变量10（2）高阶导数10

2、（三）可变端点问题10（1）一般性横截条件11（2）垂直终结线问题12（3）水平终结线问题12（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。12（5）截断的垂直终结线问题12（6）截断的水平终结线问题13（7）多变量和高阶导数情形13（四）二阶条件（充分条件）14（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验14（2）凹凸性充分条件14（3）变分15（五）无限期界问题16（1）收敛性16（2）横截条件17（3）充分条件17（六）带约束的优化问题17--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑--学习资料分享----WORD格

3、式-专业学习资料-可编辑1--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑（1）等式约束17（2）不等式约束18（3）积分约束（等周问题）19三、最优控制理论20（一）最优控制理论导论20（二）最大值原理及其横截条件21（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件）21（2）最大值原理的理论基础及其横截条件23（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性26（4）推广到多变量26（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数27（1）最大值原理的经济学解释27（2）现值的汉密尔顿函数28（四）充分条件（二阶条件）29（1）曼加萨林定理29（2）

4、阿罗条件31（五）无限期界问题31（1）横截条件与反例32（2）作为充分条件一部分的横截条件32（六）有约束的最优控制问题33（1）涉及控制变量的约束33（2）状态空间约束39四、拉姆齐模型43（一）相关理论发展背景43（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统45（三）微分方程定性稳定性判别方法简介47（1）稳定性与渐进稳定性47（2）稳定性判别基本定理48（2）平面动力系统的奇点49--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑2--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态

5、A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。如果是连续时间呢？（相加变为积分）--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑3--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑（一）动态优化问题的基本要素由此可见，一个动态优化问题包含以下几个要素：（1）一个给定的初始点和终点（终点不一定给定，后面详细说明）（2）一组允许的路径（3）对应于路径的指标

6、（不同路径之间有什么不同的影响）（4）特定目标，通过对路径的选择来实现目标。（二）泛函及其相关概念和之前的静态优化相比，动态优化的目标依赖于“路径”的选择，而不是某个变量（实数）的选择。从而，这个可优化的目标是“函数”到“实数”的映射，我们称之为“目标泛函”。--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑4--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑我们记为V[y(t)]（注意与复合函数相区别），表示目标泛函的值取决于函数y(t)。和微积分中的微分类比，微积分中的微分是自变量做微小变动后所导致的函数值的变动，而这里则是

7、“路径”或者函数本身发生微小变动所导致的“泛函值”的变动，也就是“变分”。后面的变分法也就是这个思路。（三）可变终结点除了上文图中的固定终结点之外，还存在以下几种可变终结点：（1）固定时间问题（垂直终结线问题）：终结时间固定，但终结状态自由。--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑5--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑（2）水平终结线问题：终结状态固定，但终结时间自由。（3）终结曲线（曲面）问题（四）横截条件相比于固定终结点问题，可变终结点多了一个自由度，因此在确定最优路径的时候我们需要多一个条件，这个条

8、件通常是来描述最优路径在穿过终结时刻时候的状态，被称为“横截条件”。（五）目标泛函在优化问题中，我们需要选择一个最优路径，那么最优意味着比较，比较的-