变分法求解最优控制课件.ppt

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1、最优控制中的变分法和极小值原理最优控制系统最优控制的目的是使系统的某些性能指标达到最优。一般的，达到一个目标的控制方式很多，但受经济、时间、环境等各种限制，可行的控制方式是有限的。引入控制的性能指标，使这种指标达到最优值就是最优控制。数学表达式受控系统的状态方程：控制的最优化性能指标：性能指标J(u(t))在数学上称为泛函，在控制系统中称为损失函数。变分法基本概念设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)∈S有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作J(x(t))。S称为J的容许函数集。1.泛函例:在上光滑曲线y(x)的长度

2、可定义为取x0=0，x1=1，若y(x)=x,则对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函此时我们可以写成我们称如下形式的泛函为最简泛函被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。2.泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数x(t)在的增量记为也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作如果∆J可以表示为其中L为δx的线性项，r是δx的高阶项，则称L为泛函在的变分，记为.用变动的x(t)代替就有泛函变分的一个重要形式是它可以

3、表为对α参数的导数：证明：当变分存在时，增量根据L和r的性质有所以3.泛函极值的相关结论1）在在达到极值(极大或极小)，则2）变分法的基本引理：若则无约束最优控制的变分方法无约束是指控制作用u(t)不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间中任意取值。在最优控制系统中，受控系统状态方程：寻求最优性能指标（目标函数）其中U(t)是控制策略，x(t)是轨线，固定，及自由，，f,Ψ,F连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略和最优轨线的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑定义一个标量函数：称为哈密顿函数。所以新

4、的性能指标为下面对其进行变分注意到因而再令，由的任意性，便得：必满足正则方程：1.状态方程2.协态方程(ii)哈密顿函数作为u的函数，也必须满足(iii)求时，利用边界条件最优控制的极小值原理如果受控系统其控制策略u(t)的全体构成有界集U，求u(t)ϵU,使性能指标达到最小值。最优控制策略和相应的最优轨线由下列必要条件决定(i)最优轨线，协态向量满足(ii)最优策略必须使（iii）满足相应的边界条件①若两端点固定，则正则方程的边界条件为②若始端固定，终端也固定，而自由，则正则方程的边界条件为若始端固定，终端，都自由，则正则方程的边界

5、条件为