2002-04年考研数学一试题答案与解析

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1、2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题（1）【分析】原式=dinxeIn2x丄lnx=1.（2）【分析】方程两边对X两次求导得eyy'+6xy'+6y+2x=0,①ev/’+fy’2+6xyn+12/+2=0.②以x=0代入原方程得）’=0,以x=y=0代入①得/=0，，再以x=>’=/=0代入②得r（o）=—2.（3）【分析】这是二阶的可降阶微分方程.,_z.„dy*dP,、dP令/=p（y）（以）.，为內变呈），则yM=—=——=P—.dxdxdydPdp代入方程得yP—+尸2=0，即y―+P=0（

2、或戶=0，但其不满足初始条件dydy分离变量得爷+夸=0,由x=0时)’=1，P==丄.于是22y’=P=—92ydy=dx9积分得y2=x+C9.2)，又由A1.v=0=1得C2=1，所求特解为：V=7%+i.(4)【分析】因力二次型经正交变换化为标准型吋，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6,0,0是A的特征值.乂因ai{二y/I;，故tz+a+6?=6+0+0,36?=2.(5)【分析】设事件？！表示“二次方程/+4y+X=0无实根”，则A={16-4X<0}={X>4}.依题意，有HI

3、JP(A)=P{X>4}=~.P{X>4}=l-P{X<4}=l-0(4-/z(J4-//、选择题⑴【分析】这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道，/(%,y)的M个偏导数连续是可微的充分条件，若/(x,y)可微则必连续，故选（A）.（2）【分析】LIilllim-^=l>077充分大时即彐时—>0，且U.//—>+OOlim—=0,不妨认为Vzz，人〉（），因而所考虑级数是交错级数，但不能保证一的单调性U.按定义考察部分和〃11〃1n1s”=E(-1广

4、(丄+

5、丄)=E(-1广1—+E(-1广1—人=1Uk(=1Uk^=1“人十1=>原级数收敛.-E^(-1/.1X/11(-l)/,+11［（-以一=—+k=Uk/=!UlUn+l——{n—>+oo)tILoo再考察取绝对值后的级数y（―+—）.注意—UnUn^11—+U-u..tnz?+ln=—H>2,w,,+1A2+1co1OOJJ发散=>ze+T-)发散.因此选(c).n=lh=1W..U.nh+1⑶【分析】证明⑻对:反证法.假设lim/U）=6/关0,则由拉格朗日中值定理，A-^+oo/(2x)—/(%)=

6、f^)xoo(x+OO)

7、7'(2x)-/(x)

8、<

9、/(2x)

10、+

11、/(x)

12、S2M矛盾(

13、/(x)

14、

15、析】首先讨以否定选项(A)与(c),因[/W+/2(x)恤fSx)clx+f2(x)cbc=2^1,J—ooJ—oo6(+°°)+厂’(+°°)=1+1=2/1.fl,-2

16、pX2)()h/?->o]={a+2b)f*(0)=0,及/)0，则有a+2Z?=0.综上，得6Z=2,/?=—1.四、【解】由己知条件得/

17、•arctanx./(0)=0,/•(())=(£dt)■,I;-arctan2.vX=°l+X2故所求切线程为:y二x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得x=0=1.9f_f(0)f(r}-f((}}limn/(-)=2lim—=2lim八)’=2f,(0)=2,>002,Y—>0五、【分析与求解】£）是正方形区域如图.因在£＞上被积函数分块表示max{xy2}=(X,>0GD,于是要用分