2008年考研数学试题答案与解析(数学一)

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1、2008年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题(1)【答案】【详解】，，即是的一个零点又，从而单调增加（）所以只有一个零点.(2)【答案】【详解】因为，，所以，所以(3)【答案】【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即.故以已知函数为通解的微分方程是(4)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调.所以单调且有界.故一定存在极限(5)【答案】【详解】，故均可逆．(6)【答案】【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为，即二次型的标准型为，而标准型的系数即为的特征值.(

2、7)【答案】【详解】(8)【答案】【详解】用排除法.设，由，知道正相关，得，排除、由，得所以所以.排除.故选择二、填空题(9)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(10)【答案】【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即(11)【答案】【详解】幂级数的收敛区间以为中心，因为该级数在处收敛，在处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为，即时级数收敛，亦即的收敛半径为2，收敛域为.则的收敛半径为2，由得，即幂级数的收敛域为(12)【答案】【详解】加的下侧，记与所围空间区域为，则(13)【答案】1【详解】记，，则因为线

3、性无关，所以可逆.从而，即与相似.由，得及为的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故的非零特征值为1.(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以三、解答题(15)【详解】方法一：方法二：(16)【详解】方法一：（直接取为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）方法二：（添加轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取为轴上从点到点的一段，是由与围成的区域方法三：（将其拆成，前者与路径无关，选择沿轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）对于，因为，故曲线积分与路径无关，取到的直线段积分所以，原式

4、(17)【详解】点到面的距离为，故求上距离面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点.令所以由(1)(2)得，代入(4)(5)有，解得或(18)【详解】(I)对任意的，由于是连续函数，所以，其中介于与之间由于，可知函数在处可导，且.(II)方法一：要证明以2为周期，即要证明对任意的，都有，，则又因为所以，即方法二：由于是以2为周期的连续函数，所以对任意的，有即是以2为周期的周期函数.(19)【详解】由于所以令，有又，所以(20)【详解】(I)(II)由于线性相关，不妨设.于是(21)【详解】(I

5、)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即(II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以(III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．(22)【详解】(I)(II)所以(23)【详解】(I)因为，所以，从而．因为所以，是的无偏估计(II)方法一：，，所以因为，所以，有，所以因为

6、，所以，又因为，所以,所以所以.方法二：当时　　　　(注意和独立)