2007年考研数学试题答案与解析(数学一)

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1、2007年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是(B)A.B.C.D.(2)曲线y=),渐近线的条数为(D)A.0B.1C.2D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=.则下列结论正确的是(C)A.F(3)=B.F(3)=C.F(3)=D.F(3)=(4)设函数f（x）在x=0处连续

2、，下列命题错误的是(C)A.若存在，则f（0）=0B.若存在，则f（0）=0C.若存在，则=0D.若存在，则=0(5)设函数f（x）在（0,+）上具有二阶导数，且,令=f(n)=1,2,…..n,则下列结论正确的是(D)A.若，则{}必收敛B.若，则{}必发散C.若，则{}必收敛D.若，则{}必发散(6)设曲线L：f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是(B)A.B.C.D.（7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是：(A)（A）（B）（C）（D）（8）设矩阵A=，B=,则

3、A于B，(B)(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为：(C)（A）(B)(C)(D)(10)设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，，分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度为(A)（A）(B)(C)(D)二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（11）＝.（12）设为二元可微函数，，则＝.(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝.(14)设曲面：，则

4、＝.(15)设矩阵A＝，则的秩为１.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【详解】：【详解】【详解】证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即【详解】(1)将已知条件中代入到微分方程中，整理即可得到：(2)解题如下【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的

5、解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是于是是矩阵B的特征向量.B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即，所以B的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以

6、知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下：于是求得B的属于1的特征向量为（Ⅱ）令矩阵，则，所以(23)设二维变量的概率密度为求；求的概率密度.【详解】：（Ⅰ），其中D为中的那部分区域；求此二重积分可得（Ⅱ）当时，；当时，；当时，当时，于是(24)设总体的概率密度为,,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值求参数的矩估计量；判断是否为的无偏估计量,并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记，则，解出，因此参数的矩估计量为；（Ⅱ）只须验证是否为即可，而，而，，，于是因此不是为的无偏估计量.