2004年考研数学试题答案与解析(数学一)

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1、2004年考研数学试题答案与解析(数学一)一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由,得x=1,可见切点为,于是所求的切线方程为,即.【评注】本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为,即.本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.(2)已知,且f(1)=0,则f(x)=.【分析】先求出的表达式,再积分即可.【详解】令,则,于是有,即积分得.利用初始条件f(1)

2、=0,得C=0,故所求函数为f(x)=.【评注】本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分.【详解】正向圆周在第一象限中的部分,可表示为于是=【评注】本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.(4)欧拉方程的通解为.【分析】欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】令,则,,代入原方程,整理得,解此方程,得通解为【评注】本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则

3、欧拉方程,可化为(5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则.【分析】可先用公式进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A,得,而,于是有,即,再两边取行列式,有,而,故所求行列式为【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则=.【分析】已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.【详解】由题设,知,于是==【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的

4、四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先两两进行比较,再排出次序即可.【详解】,可排除(C),(D)选项,又=,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序.(8)设函数f(x)连续,且则存在,使得(A)f(x)在(0,内单调增加.(B)f(x)在内单调减少.(C)对任意的有f(x)>f(0).(D)对任意的有f(x)>f(0).[C]【分析】函数f(x)只在

5、一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义,知,根据保号性,知存在,当时,有即当时,f(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论.(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛.(B)若存在非零常数,使得,则级数发散.(C)若级数收敛,则.(D)若级数发散,则存在非零常数,使得.[B]【分析】对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取,则=0,但发散,

6、排除(A),(D);又取,则级数收敛,但,排除(C),故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式,,而级数发散,因此级数也发散,故应选(B).(10)设f(x)为连续函数,,则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求导,再代入t=2求即可.关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序,得=于是,,从而有,故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x:否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.(11)设A

7、是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A).(B).(C).(D).[D]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设,有,,于是,可见,应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相

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