信息133-解的延拓

《信息133-解的延拓》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、解的延拓一、问题提出：对于初值问题—-.my)R；

2、x-x0

3、

4、y-y0

5、

6、x-Xq

7、h上存在唯一•，这里h=min(<2,—),A/=Mcixj(x,y).M(x,y)e/?根据经验，如果f(x，y)的定义域R越大，解的存在唯一区间也应越大，但根据定理的结论，可能出现这种情况即随着f(x，y)的定义域的增大，解的存在唯一区间反而缩小，这显然是我们不想看到的。例如：初值问题尝=/—”2y（o）=o1)当取定义域为R:-lsxsl,-lsysl时，解的存在唯一区间为

8、x

9、

10、为R:-2

11、x

12、

13、}=*•正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫解的局部存在唯一性定理，这种局部性显然不太好，而且实践上也要求解的存在区间尽量扩大，这样就需要讨论解的延拓的问题，为此我们先给出下列定义：二、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程=/（冬夕），（3.1）ax设为方程（3.1）定义在区间（久我）的连续解，若存在方程（3.1）的另一个解7=^0：），它在区间O2，/?2）上右定义，且满足（1）（%，成）〔02,爲），但我）垆（汉2,从）;（2）当xeOP我）时，（p（x）=i//（x）；则称y=（p（x

14、）,xe（%,/?,）是可延拓的，并且称y=y（x）是解y=p（x）在O2，p2）的一个延拓。若不存在满足上述条件的解7=^0），则称解>，=p（x），xe（6Z,,/?,）为方程的一个不可延拓解或饱和解。此时把不可延拓解的定义区问（％,/?,）称为一个饱和区间。三、局部利普希兹（lipschitz）条件定义2若函数f（x，y）在区域G内连续，且对G内的每一点P,有以P为中心完全含于G内的闭矩形RP存在，在RP上f（x，y）关于y满足lipschitz条件（对不同的点域RP大小和常数L可能不同），则称f（x，y）在G内关于y满足lipschitz条件。对定义2也可作如下定义：对定义在平面区

15、域上函数f（x,y），若对及常数L,（与Xbynabbi有关）使对V（x，y），（x，）/’）e代有f（x9y）-f（x9y）

16、的边界，以向x增大的一方的延拓来说如果J=（p{x）只能延拓到区间x0，=外4可以延拓，以向x增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：⑴解y=可以延拓到区间［x（），。o）;⑵解y=只可延拓到区间U。，rf），其中d为有限数，则当时，或者y=p（x）无界，或者点（x，^（x））区域区域G的边界。举例分析例1讨论方程=的分别通过点（0,0），（ln2，-3）的dx2解的存在区间。解：由题可得：=在整个oxy平面上满足解的唯一性定理及解的延拓定理条件，求解得方程的

17、通解为则通过点(0,0)的解为这个解的存在区间为(-oo,+oo)。通过点(ln2,-3)1+y的解为可知过此点的解的存在区间为(0,+oo).-ex例2在区域G={/U，y)

18、y<2},讨论方程字=/分别通过点ax(1,1),(3,-1)的解的最大存在区间。解：因为/U，y)=y2，/v(x，y)=2y均在G内连续，所以该方程过G内任意一点的解存在且唯一。所给方程的通解为：v=-l,(x为任意常数)(1)过点(1，1)的解为y=32-xf13由y=G，解得^要[y=22因为limp[(x,>'(%)),9G]=0,x^--02而当(-ooj)时，2所以方程过点(1(2)过点(3,-1)

19、解y(x)=-^―2-x的解：1)的解的最大存在区间为：因为，limy(x)=lim=—oo,a->2+0x->2+02—X而当m（3,+oo）时，解V（%）=一5一存界.2-x所以，该解的最大存在区间为（2，+oo）.例3讨论方程全=1+11^满足条件v（l）=O的解的存在区间.dx解：方程右端函数于右半平面x>0上有定义，且满足解的延拓定理的条件，这里区域G（右半平面）是无界开域，>，轴是它的边界，容易求得问题的解y