分解方法的延拓

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1、分解方法的延拓　　第一讲分解方法的延拓　　¬¬¬¬¬——换元法与主元法　　因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．　　　一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．　　　所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．　　所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于

2、这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．　　例题求解　　【例1】分解因式：=　　．　　(“五羊杯”竞赛题)　　　思路点拨视为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．　　【例2】多项式因式分解后的结果是(　)．　　　A．(y－z)(x+y)(x－z)　B．(y－z)(x－y)(x＋z)　　C．(y+z)(x一y)(x+z)　D．(y十z)(x+y)(x一z)　　　(上海市竞赛题)　　　思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构

3、，寻找分解的突破口．　　　【例3】把下列各式分解因式：　　　(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+x2；　(天津市竞赛题)　　　(2)1999x2一(19992一1)x一1999；(重庆市竞赛题)　　　(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2；　(“希望杯”邀请赛试题)　　　(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3．　(第13届“五羊杯”竞赛题)　　　思路点拔(1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大

4、，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．　　　【例4】把下列各式分解因式：　　　(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2(a一b)；　　　(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．　　　思路点拨(1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．　　　【例5】证明：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33．　　　x5+3x4y－5x3y2一15x2

5、y3+4xy4+12y5．　　(莫斯科奥林匹克八年级试题)　　　思路点拨33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．　　注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：　　　（1）按字母分组：　　(2)按次数分组；　　　(3)按系数分组．　　　为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：　　（1）；　　(2)　　学力训练　　1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)

6、－8＝　　．　　2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12=　　．　　3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y=　　　．(重庆市中考题)　　4．已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为　　　．　　5．将多项式分解因式，结果正确的是（　）．　　　A．　B．C．D．　　　(北京中考题)　　6．下列5个多项式：　　①；②；③；④；⑤　　　其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（　）．　　　A．①、②、③　B．②、③、④C．①③、④、⑤　D．①、②、④　　7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘

7、积的是(　)．　　　A．B．C．D．　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　8．若，，则的值为(　)．　　A．　　　B．　　C．　D．0　　　(大连市“育英杯”竞赛题)　　9．分解因式　　　（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；　　　(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；　　　(3)x4+2001x2+2000x+2001；　　　(4)(6x－1)(2x－1)(3x－1)(x－1)+x2；　　　(5)；　　　(6)．　(“希望杯”邀请赛试题)　　10．分解因式：=　　．　　11．分解因式：=　　．　　1

8、2．分解因式：=　　．（“五羊杯”竞赛题）　　13．在1~100之间若存在整数n，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有　　　个．　(北京市竞赛题)　　14．的因式是(　)　　　A．　　B．　　C．　D．　　E．　　15．已知，