解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理

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1、3.2一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(ExtensionofsolutionandcontinuousdependenceofsolutionwithrespecttoinitialvalueorparameterofODE)[教学内容]1.介绍Picard定理的证明过程;2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理;3.介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.[教学重难点]重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法]自学1

2、、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道Picard定理的证明思路;2.知道初值问题解的最大存在区间的特点;3.知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..1.Picard定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：，并说明两方程为等解方程.（2）构造函数集合，其中.构造映射，验证且.（3）构造函数列，其中，验证在连续且一致收敛，记表示的极限函数.（4）验证函数列一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，为积分方程的一个连续解.（5）运用Gronwall定理证明积分方程的解是唯一的.2.注解：（1）两个函数之间的距

3、离如何刻画？定义，从图像来看这样刻画是合理的！（2）Picard函数列与精确解的误差估计：.（3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件.（4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2）3.微分方程初值问题的Picard近似解计算和误差估计例42.方程定义在矩形域，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0,0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.（参见教材P87例题1）作业35.教材P88，习题3，习题10.3.解的延拓定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，的解为至少在上存在，那么上述解函数最大的存在区间是

4、什么呢？（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解.（3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.考察初值问题，其中在开区域内连续，且在G内对y满足局部的Lipschitz条件，设位于G内一点出发的解的最大存在区间为，则具有如下特征：当，趋于G的边界；当，趋于G的边界.特别地，若G=，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为.例43.（1）讨论方程分别通过点的解的最大存在区间.（2）讨论方程分别通过点的解的最大存在区间.（2）讨论方程过点的解最大存在区间.解：（1）参见教材P92例题1.(2)两个解分别为和.(3)右端函数的存在域为.方程的通解为过点的

5、解为，该解向左可以延伸到，向右延伸到；但注意到，因此，该解向右可以延伸到.作业36.（1）考察，若在整个Otx平面上有定义，连续且有界，同时对变量x存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为.（2）讨论方程和方程解的最大存在区间.4.微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，的解为至少在上存在，为了表示解与初值和参数相关，将上述解函数记为.问解函数是否对变量连续，是否可导，以及导函数例如的表达式？考察一个具体的例子：的解为，这就是一个关于变量的多元函数.（2）回答：教材P95定理，P99定理，P100定理.（3）形式推导出，，满

6、足的方程和表达式.（一）、，对上面两式两边关于求导得到，，求解上述方程初值问题得到，.（二）、，对上面两式两边关于求导得到，，说明第二式：，关于求导得到.求解上述方程初值问题得到，.例44.假设函数为区间上连续函数，为线性方程的解，.试求(1);(2)用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出.解：（1）由公式有.（2）由常数变易公式得到，.再由初值条件确定出.因此，.；；；.作业37.给定方程，试求在时的表达式.附录：下面是赠送的年度工作总结，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！！欢迎再度光顾XXXX年度工作总结尊敬的各位领导、同事们：XXXX就快结束，回

7、首XXXX年的工作，有工作成功的喜悦，有与同事协同攻关的艰辛，也有遇到困难和挫折时惆怅。不知不觉中紧张而有序的一年就要过去了，一年以来，在公司领导的悉心关怀与指导下，在同事们的支持和帮助下，通过自身的努力，各方面都取得了一定进步，较好的完成了本职工作。为以后更好的工作，总结经验，吸取教训，现将工作情况作简要总结。一　要不断加强学习，提高自身综合素质。具有良好综合素质是做好本职工作的前提和条件。一年以来始终把学习放在重要位置，努力在提高自身综合素质上下功夫。不断学习专业技能，向周围工作经验丰富的同事学习，用知识充实自己，扩大知识面，努力提高自身综合素质。　二做到尽