资源描述：
《3.3解对初值的连续性与可微性定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.3解对初值的连续性和可微性/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/解对初值的连续性解对初值的可微性本节要求：1了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要§3.3Continuity&differentiability考察的解对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性内容:yxG图例分析(见右)解可看成是关于的三元函数满足解对初值的对称性:前提解存在唯一例:Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程
2、的解变化是否也是很小呢？按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?Q2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题.3.3.1解对初值的对称性定理设f(x,y)于域G内连续且关于y满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中，与可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立
3、着关系式§3.3Continuity&differentiability证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:3.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间有定义，那么，对任意给定的，必存在正数使得当时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且§3.3Continuity&differentiability引理如果f(x,y)在某域D内连续，且关于y满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式其中为所考虑区间内的某一值。证明设在区间均有定
4、义，令不妨设因此，有§3.3Continuity&differentiability则于是因此，在区间[a,b]上为减函数，有§3.3Continuity&differentiability对于区间则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得§3.3Continuity&differentiability解对初值的连续依赖性定理的证明条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].结论:对,使得当时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且方程记积分曲线段S：显然S是xy平面上的有界闭集.第一步
5、:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.yxG(见下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,李普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有对,记则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域Dba思路分析：00第二步:证明在[a,b]上有定义.断言，必存在这样的正数使得只要满足不等式则解必然在区间也有定义。由于D是有界闭区域，且f(x，y)在其内关于y满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这是必然有§3.3Continuity&differe
6、ntiability因为否则设则由引理由的连续性，对必存在使得当时有取则当§3.3Continuity&differentiability于是对一切成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解在区间[a,b]上有定义。§3.3Continuity&differentiability第三步:证明在不等式(*)中将区间[c,d]换成[a,b]即得.的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程§3.3Continuity&differentiability
7、1.含参数的一阶方程表示2.一致利普希兹条件设函数满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，为中心的球，使得对任何其中L是与无关的正数。在内连续，且在内都存在以成立不等式§3.3Continuity&differentiability一致地关于y即对内的每一点由解的存在唯一性定理，对每一方程的解唯一确定。记为§3.3Continuity&differentiability解对初值和参数的连续依赖性定理假设于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，是方程通过点的解，在区间那么，对任意给定的，必存在正数时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且有定义其中使得
8、当§3.3
