解对初值的连续性和可微性定理

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1、§3.3解对初值的连续性和可微性定理考察的解对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性主要内容图例分析(见右)解可看成是关于的三元函数满足解对初值的对称性:前提解存在唯一例:初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.…………Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？yxG按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上变化也很小?这种问题

2、称为解的稳定性问题,将在第六章中讨论.Q1:解在某有限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间上是否也变化很小?3.3.1解关于初值得对称性证明3.3.2解对初值的连续依赖性定义设初值问题一、解对初值的连续依赖性定义初值问题引理如果函数于某域内连续，且关于满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。于是因此两边取平方根即得证明则二、定理1(解对初值的连续依

3、赖性定理)条件结论方程0思路分析记积分曲线段S：第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.yxG(见下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有对,记则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域Dba显然是平面上的有界闭集.00第二步:证明在[a,b]上有定义.假定利用引理及的连续性可得:第三步:证明在不等式(*)中将区间[c,d]换成[a,b]即得.根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:三、定理2(解对初值的

4、连续性定理)条件结论方程证明令3.3.3解对初值的可微性一、解对初值和参数的连续依赖定理二、解对初值和参数的连续性定理三、解对初值可微性定理证明即和于是设则即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理的解,不难求得即和于是即是初值问题的解.根据解对初值和参数的连续性定理的解,不难求得初值问题例1解由公式得作业P1011、3