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《§33解对初值的连续性和可微性定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§3.3解对初值的连续性和可微性定理在初值问题中我们都是把初值看成是固定的数值，然后再去讨论方程经过点的解.但是假如变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值.例如：时,方程的解是,将初始条件带入,可得.很显然它是自变量和初始条件的函数.因此将对初值问题的解记为,它满足.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件的解是唯一的,记为,则在此关系式中,与可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式证明在方程(
2、3.1)满足初始条件的解的存在区间内任取一点,显然,则由解的唯一性知,过点的解与过点的解是同一条积分曲线,即此解也可写为并且,有.又由是积分曲线上的任一点,因此关系式对该积分曲线上的任意点均成立.2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数于某域内连续，且关于满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为）
3、，则对方程（3.1）的任意两个解及，在它们公共存在的区间内成立着不等式（3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明设,于区间上均有定义,令则于是从而所以,对,有对于区间,令,并记,则方程(3.1)变为而且已知它有解和.类似可得因此,两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果，初值问题有解，它于区间上有定义(),则对任意，，使得当时,方程(3.1)满足条件的解在区间上也有定义，并且有.证明记积分曲线段是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使,而且在上关于满足Lipschitz条
4、件.由已知条件,对,存在以它为中心的开圆,使在其内关于满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(不同的,其半径和Lipschitz常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令,则,对,记,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域,且在上关于满足Lipschitz条件,Lipschitz常数为.第二步:证明，使得当时,解在区间上也有定义.由于是一个有界闭域,且在其内关于满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知,解必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为和,,这时必有.否则设,由引理有利用的连续
5、性,对,必有存在,使当时有,取,则当时就有(3.18)于是对一切成立,特别地有,即点和均落在域的内部,这与假设矛盾,故解在区间上有定义.第三步证明.在不等式（3.18）中将区间换成，可知当时，就有.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1)的解作为的函数在它的存在范围内是连续的.证明对,方程(3.1)过的饱和解定义于上,令下证在上连续.对,,使解在上有定义,其中.对,使得当时,又在上对连续,故,使得当时有取,则只要就有从而得知在上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数
6、的微分方程(3.19)如果对，都存在以为中心的球，使得对任何，成立不等式其中是与无关的正数，称函数在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一，方程（3.19）通过点的解是唯一确定的，记这个解为.设在内连续,且在内关于一致地满足局部的李普希兹条件,是方程(3.19)通过的解,在区间上有定义,其中,则对,使得当时,方程(3.19)通过点的解在区间上也有定义,并且5、解对初值和参数的连续性定理设函数在区域内连续，且在关于一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19)的解作为的函数在它的存在范围内是连续的.6、解对初值的可微性定理如果函数以及都在区域内连续，则对初值问
7、题的解作为的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明由在区域内连续，可知在内关于满足局部Lipschitz条件，根据解对初值的连续性定理，在它的存在范围内关于是连续的.下面证明函数在它的存在范围内的任一点偏导数...即于是类似有即是初值问题的解，.根据解对初值和参数的连续性定理的解,容易得到..类似上述方法可证是初值问题的解.因而其中具有性质:所以有.故例1已知方程为试求，.解：方程右端函数在平面内连续，且也在平面内连续，且其满足的解为.于是，.
