数形结合,例题解析

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1、数形结合,例题解析利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。　　一、构造函数，实现转化　　把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。　　例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是（）　　A.α＜βB.α=β　　C.α＞βD.无法确定

2、　　■　　分析：由x+log2x=2得log2x=2－x，由x+log3x=2得log3x=2－x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y=2－x，并作出它们的图像，由图易得答案为A。　　例2：方程■-

3、ax

4、=0（a∈R）解的个数是　　（）　　A.4个B.2个　　C.0个D.与a的取值有关　　■　　分析：原方程可化为■=

5、ax

6、，分别作函数y＝■与y＝

7、ax

8、的图像，由图知，应选B。　　二、构造几何图形，实现转化　　在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab转化为面积，a

9、2+b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。　　例3：若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求证tgαtgβtgγ≤2■。　　分析：由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。　　■　　证明：如图，设长方形体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高为a，b，c，∵cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，∴可设∠D1BA=α，∠D1BC=β，∠D1BB1=γ，连结BD1，则tgα＝■，同理tgβ＝■，tgγ＝■，tgαtgβ

10、tgγ=■·■·■≤■=2■，当且仅当a＝b＝c时取等号，故命题成立。　　例4：设x＞0，y＞0，z＞0，求证：■＋■＞■。　　■　　分析：注意到■＝■表示以x、y为两边，夹角为60°的三角形第三边，另两边也有同样意义。故构造如图的四面体，使∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，则有AB＝■，BC＝■，CA＝■，原命题转化成了求证AB＋BC＞CA，这显然是成立的。　　三、如果已知条件是函数问题，则应善于发现各个量所表示的几何意义，然后再把所要研究问题转化为平面几何或解析几何问题进行解决　　例5：求y=

11、x＋1

12、＋

13、x

14、－2

15、的最小值。　　解：由绝对值几何意义不难得出，最小值为3。　　例6：函数y＝■的最大值＝，最小值＝。　　■　　分析：本题可把求值问题转化为求切线斜率问题。由于y＝■＝■，表示过点P（2,3）与单位圆上一点（－cosx,sinx)的直线的斜率，由图知，当直线与圆相切时，分别可得到ymax＝2＋■，ymin＝2-■。　　例7：y＝■+■取得最小值时x的值是。　　■　　分析：注意到■+■=■+■表示x轴上的点M（x，0）到点A（－1，2）与B（0，－1）的距离之和。由平面几何知识得，当M（x，0）为AB与x轴交点时，y

16、min=10，此时x＝■。　　例8：求函数M＝(s-t)2+(■－■)最小值。　　■　　分析：由于已知代数的结构与两点间距离公式完全一致，可看作是求两点(s，■)与(t，■)的距离的最小值，∵点M(s，■)在半圆x2+y2=2(y≥0)上，T(t，■)在双曲线上，观察图像知：半圆、双曲线分别与直线y=x交于A（1，1)，B（3，3）两点，

17、AB

18、即为半圆上的点与双曲线上的点之间的最小距离，其值为2■。　　例9：求函数s=■＋■的最大值。　　■　　分析：以上题目用代数来算难以奏效，可将两根式通过二次换元，使原函数变形为

19、在另一直角坐标系中的直线方程，把求函数最值化为解析几何中求直线的截距的最值，从而使问题迎刃而解。　　解：设■＝x，■＝y，则x2+y2=2x+y=s，x≥0，y≥0，最值问题转化为过圆弧上一点，斜率为－1的直线在x轴上的截距。显然，直线与圆相切时，smax=2，当直线过点(2，0)时，smax=2。　　总之，许多函数最值问题，可转化为求直线斜率的最值问题，直线在两坐标上截距的最值问题，或两点间距离问题。　　（责编张晶晶）