数形结合例题选集

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1、..数形结合一、在一些命题证明中的应用举例：1、证明勾股定理：解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理。2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式：Word格式..解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解

2、，对基本不等式的理解也就更加简单了。1、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示，；即；根据圆的性质（等弧对等角）；综上，得正弦定理：。（2）根据勾股定理；整理可得余弦定理：；同理得出cosA、cosC的余弦定理。2、证明结论Word格式..解析：如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在上的图像可看出tanx>x>sinx，。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式，即图中黑色弧线的长度表示x，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线

3、长度，即tanx>x>sinx，。6、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中，，将B点旋转至（1，0）处（右图所示）。此时，，因为线段AB的长度没有发生变化，即，化简：。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，。二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例1（14奉贤）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+2）=-f（x），当只有四个零点，则a的取值范围是答案：解析：根据已知条件，f（x）的周期

4、为4，先画f（x）一个周期图像，当1x<3时，Word格式..，由此画出[-1，3）的图像，此为一个周期，图像如下，只有四个零点即f（x）与y=只有四个交点，需分类讨论：（1）当01时，也有两个界值，如下图所示：此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。例2（14闵行）Word格式..，若a、b、

5、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=，4

6、

7、x-1

8、-1

9、，若关于x的方程f（x）=t（tR）恰有四个互不相等的实数根的取值范围是答案：（3，4）解析：根据题意，如下图所示，=。例3（14杨浦

10、）定义一种新运算：。已知函数f（x）=（1+，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围是（）A.（1，2]；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：BWord格式..解析：，如下图所示：令g（x）=f（x）-k=0，问题转化为函数y=f（x）与函数y=k有两个交点，则k（1，2）。评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k的取值范围等。例4（14宝山）关于函数f（x）=，给出下列四个命题：①当x>0时，y=f（x）单调递减且无最值；②方程f（x）

11、=kx+b（k0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案：②、④解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0

12、关于x的函数F（x）=f（x）-1的零点从小到大依次