2、+J(]-d)2+/?2+J°2+(]—+J(]—d)2+(]—Z?)2>2/^・证明：如图，作边长为1的正方形ABCD,在AB上取点E,使AE二在M)上取点G,使AG二b,过E、G分别作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点0,连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知△AOG、△BOE、"OF、、DOG均为直角三角形，因此OA=yla2+b2OB=yl(}-a)2+b2OC=J(l—a)2+(l—bFOD=y/a2+(l-b)2且AC=BD=42由于OA+ocnACOB+ODnBD.所以:J/
3、+，+J(l—疔+戸+J/+(l—莎+J(l—°)2+(l—莎/VI"ill.仅11a=b=-^时，等号成、L小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的儿何性质或者平而几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：2例3若方程处一2兀+1=0(a>0)的两根满足：兀1<1,1<兀2<3,求Q的取值范围。解析：画出与方程对应的二次函数y=cvc-2x+l(a>0)的草图：由图可知：当兀二1时，yo.即€zxl*~—2xl+l0.5解得：n<
4、<1例4若关于兀的不等式05兀2+〃比+251的解集仅有一个元素，求加的值。解：如图：在同一坐标系内，作出y=l与y=x1+iwc+22的图象。题设条件等价于抛物线y=^+mx+2在直线y=O与y=i之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线y=1上，故方程组y=1y=x2+mx+2仅有一组解。/.A=m2—4x1=0即m=+2.小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题屮所蕴含的儿何背景，往往能为解题提供清晰的思路。4、求最值问题:已知b均为正
5、数，Ha+b=2.求的最小值。解：如图，作线段AB二2,在AB上截取AE二EB二勿，过A作AC丄AB,且AC二2,过B作BD丄AB,且BD二1。由勾股定理：CE=J/+4BD=+1,原题即求CE+ED的最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC,连接GE,由三角形两边之和大于第三边,则G、E、D三点共线吋，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F,使BF//AG且BF二AG,连接GF.则在RtADGF中，DF=1+2=3,GF=AB=22：/：2・・・DG=^DF2+GF2=a/32+22=V131/I.••CE+DE的最小值是V13.
6、即V^2+4+V^2+l的最小值是V13.A小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、用代数与三角方法解决几何问题：例6如图，在AABC中，AB>AC,CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：AB+CF>AC+BE证法一：（三角法）因为05sin451,・・・AB-AC>（AB-AC）sinA.•・AB+ACsinA>AC+AB・sinAAB+CF>AC+BE（当ZA=90°时取等号）证法二（代数法）由AB>AC>CF,AB>BE11及SaABC~二一AB・CF=—AC・BE22AB•■••-BE=AC变形得.AB—BE=A
7、C-CFCFABAC・・・AB—BE>AC—CFAB+CF>AC+BE当ZA=90°时，AB+CF=AC+BE.综上：AB+CFnAC+BE.小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7如图，在正AABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE丄BC,EF丄AC,FD丄AB同时成立，求点D在AB上的位置.分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用己知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：设AB二1,AD=X因为AABC为正三角形，且DE丄BC,E
8、F丄AC,FD丄AB,故AF=2x,CF=-2x,CD=2CF=2-4xBE=l-CE=4x-,BD=2BE=8x—2而AD+BD=1，即x+(8x-2)=l11解得：无=5
