浅谈排列组合问题常见的求解方法

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1、浅谈排列组合问题常见的求解方法一合理分类与准确分步法　　解含有约束条件的排列组合问题应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重、不漏。例如，六人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同排法有多少种？　　分析：由题意可先排甲，并按其分类讨论：（1）若甲在　　末尾，剩下5人可自由排有A种；（2）若甲在第二、三、　　四、五位上，则有AAA种排法。由分类计数原理，排　　法共有A＋AAA＝504（种）。　　二正难反易转化法　　对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较

2、为困难的问题，若从正面入手可能不容易解决，这时可以从反面入手，把它转化为一个简单问题来处理。例如，马路上有8盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法一共有多少种？　　分析：关掉第1盏灯的方法有6种，关掉第2盏，第3盏时需分类讨论，十分复杂。如果从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5盏亮灯的6个空中插入3盏暗灯”的　　问题。所以关灯方法种数有C＝20。

3、　　三局部问题“整体优行法”　　对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与余元素一同排列，然后在进行局部排列。例如，8人站成一排照相，要求甲、乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？　　分析：甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余6人中选63种，这个“小整体”与其余3人共4个元素　　全提列，有A种方法，它的内部甲、乙两人有A种站法，中　　间选的3人也有A种，故符合要求的站法共有CAAA＝　　5760（种）。　　四相邻问题“捆绑法”　　对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑在一

4、起看作一个大元素，与其他元素排列，然后再对“大元素”内部元素排列。例如，8人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻有多少种不同排法？　　分析：可把甲、乙、丙三人看作一个整体，与其余5人　　共6个元作全排列，有A种排法，而甲、乙、丙之间又有　　A种排法，故有AA＝43200（种）。　　五不相邻问题“插空法”　　对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。例如，8人站成一排，若要求甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？　　分析：先将其余5人排好有A

5、种排法，再在这些之间及　　两端的6个“空隙”中选三个位置将甲、乙、丙插入，则有　　A种，总共有AA＝14400（种）。　　六顺序固定问题用“除法”　　对于某几个元素，顺序一定排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。例如，8个人排队，甲、乙、丙三人按“甲—乙——丙”顺序排的排队方法有多少种？　　分析：不考虑附加条件，排队方法有A种，而其中甲、　　乙、丙的A种，排法中只有一种符合条件。故符合条件的排　　法有A÷A＝6720（种）。　　七构造模型“隔板法”　

6、　对于较复杂的排列问题，可以通过设计另一种情境，构造一个隔板模型来解决问题。例如，方程a＋b＋c＋d＝12有多少组正整数解？　　分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板把球分成4堆，而每一种分法所堆球的4种堆球的数目即为a、b、c、d的组正　　整数解，故原方程的正整数解的组数共为C＝165（种）。　　八分排问题“一直排法”　　把几个元素排成前后若干排列问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法进行处理。例如，8个人坐两排座位，第一排3

7、个人，第二排坐5个人，则不同坐法有多少种？　　分析：8人可以在两排随意就座，再无其他条件，故两　　排可看作一排来处理，不同的坐法共有A种。　　九混合问题“先选后排”　　对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。例如，4个不同小球放入不敷出编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一空盒有多少种放法？　　分析：因有一空盒，故必须有一个盒子放两球。（1）选：　　从4个球中选2个有C种，从4个盒中选3个盒有C种；（2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3　　个元素，对选出的3盒作全排列有A种，故所

8、求方法有C　　CA＝144（种）。　　十特殊元素“优先安排法”　　对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。例如，用0、2、3、4、5五个数字组成没有重复数学的三位数，其中偶数有多少个。　　分析：由于该三位数为偶数，故末尾数学必有偶数，又因为0不能排首位，故“0”就是其中的“特殊”元素应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：（1）0排末　　尾时，有A个；（2）0不排末尾时，则有AAA个，由　　分类计数原理共有偶数A＋AAA＝30（个）。　　排列、