把握方法轻松解题——求解排列组合问题的策略

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1、把握方法轻松解题求解排列组合问题的策略排列组合问题题型多样，思路灵活，不易掌握。但此类问题有很多规律方法对循，因此熟练掌握相应题型和解题方法，解题时止确识别，熟练运川，是解决排列组合问题的冇效途径，下面结合典型的例题來探讨一■下此类问题的解题策略。策略一：优先法有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，称为优先处理特殊元素（位置）法，即“优先法二例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：题中给出了6个元素（人），6个位置；由于叩不站左端也不站右端，因此就出现了特殊元素（卬）和特殊位

2、置（左端、右端）。解题时既可以从特殊元素入手，也可从位置入手。解：（法一）（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端Z间的任一位置上,有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：4xA；=480（种）（法二）（位置分析法）因为左右两端不站甲，故笫一步先从甲以外的5个人屮任选两人站在左右两端，有&种；第二步再让剩余的4个人（含卬）站在中间4个位置，有种，故站法共有：&・血=480（种）点评：本题的两种解法不分伯仲，从元素和位置入手都可以。但如果将本题改为：从6人中选4人参加4x100接力赛，其中卬不跑第一棒

3、，那么冇多少种不同的安排方法？此题若用特殊元素法，就要考虑甲选小，还有甲未选小两种情况，需分类讨论，当选小甲时乂要考虑甲的特殊性；如用特殊位査分析法就有很大的优越性，易知其不同安排的方法数为5x£=300种.策略二：捆绑法某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元索看作一个元索，进行内部排列，Z后再与其他元索排歹U,这种方法称为“捆绑法”。例2.有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数.（1）全体排成一行，其中男女生各站在一起；（2）全体排成一行，其屮男生必须排在一起.分析：将“在一起”的进行“捆绑”，与其它元素进行排列即可。解：（1）

4、男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排，所以共盘=288种排法；（2）将男牛看成一个整体，先进行全排，再与女牛进行全排列即可，所以共有4；x崔=720种；点评：解决此类问题采用了“先局部后整体”的思想，耍注意养成正确的思维顺序，不耍忽略了“内部排列”或者“整体排列”。策略三：插空法某些元索不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法"。例3.有3名男生，4名女牛，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数.（1）全体排成一行，男生不能排在一起；（2）全体排成一起，男女生各不相邻。分析：

5、不相邻问题中“谁不相邻将谁插空”，因此（1）中应将男生插空；（2）为“各不相邻“问题，应注意先排谁，将谁插空.解：（1）男生不相邻，而女牛不作要求，所以应先排女牛:，然后在空出的五个空位中任选三个排男生，所以共有£x£=1440种；（2）男女相间排列，先排好男生，然后将女生排入空出的四个位置中，所以共有A；xA：=144种.点评：対于（2）注意不能先排女生，再将男生排入空出的5个空中，因为这样会岀现女生和邻的情况，因此对丁•这种各不相邻（间隔排列）问题进行排列时一般“先排个数少的雹策略四：间接法如果一些问题的止面难以考虑，那么可以考虑其对立面，然后用总的

6、方法数减去对立面所包含的方法数，这种方法就是“间接法”.例4.用0,1,……，91•个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243B.252C.261D.279分析：如果正面考虑的话，对于“冇重复数字”可以是冇两个数字重复，也可以是三个数字重复；当两个数字重复时还要考虑是哪两位上的数字重复，另外（）的特殊性也要考虑。因此情况比较多，容易出错；故町考虑其反而：无重复数字的三位数的个数，然后用总数减去即可。解析：B；由（）丄，……，9这十个数字共能组成9x10x10=900个不同的三位数，其中无重复数字的三位数冇648个；故山这十个数字能组成的有重

7、复数字的三位数的个数为900-648=252点评：间接法是一种常川的方法，它体现了“正难则反”的化归思想。合理利川此方法有时町以避免一些繁杂的分类讨论。策略五：先选后排处理排列纽合综合性问题-•般是先选元索，后排列，然后结合分步乘法计数原理得到具方法数.例5.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共冇多少种？分析：总体可分步进行，首先4名教师分成三组，然后再将分配到3所中学中任教，即将其排列即可.解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三纟fl,其人数分配方式有：（1,1,2）,（2,1,1）,（1,2,1),共有:U二§（

8、种）；笫二步将这三组教师分派到3种中学任教有人;种方法。由分步计数原理得不同的分