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1、《排列组合问题的求解方法与策略》一.排列组合问题的求解方法1.含有可軍牙杀的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a“a2,……an其中限重复数为m、血……m,且n=n.+n2+……nk,则S的排列个数等于n=——-——•n{2..nk例1:已知数字3、2、2,求其排列个数/7=（1+2）!=3乂例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数«=^=1.1!2!3!2.直接法.（一.合理分类与准确分步法）解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证毎步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不
2、漏。例2、五个人排成一排，其中卬不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）A.120种B.96种C.78种D.72种例3、4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？例4、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同--种植物，相邻的两块种不同的植物,现有4种不同植物可供选择，则有种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）例5、从给定的六种不同颜色屮选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，毎面恰架一种颜色，毎两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方案共有种。（二、元素分析与位置分析法）对于冇附加条件的排列组合问题，一
3、般采用：先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。例6、用0,2,3,4,5,五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A.24个B。30个Co40个D。60个例7、马路上冇8只路灯，为节约用电乂不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？（三.列举法）例8、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有。（1998年全国高中数学联赛）例9、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到和邻
4、两顶点之/一。若在5次Z内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能岀现的不同跳法共种。（1997年全国高中数学联赛）例10.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要,软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（）A.5种B.6种C.7种D.8种3.排除法.（总体淘汰法）（正难则反）例12.有五张卡片，他们的正反而分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数?例13.从］,2,3,199
5、5这1995个自然数中,取出9个互不相邻的自然数,有多少种方法?1.捆绑法：在特定要求的条件下，将儿个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们'‘局部”的排列.它主要用于解决“元索相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某＜/?）个元索必相邻的排列有码二；＜•必个.其中〈；二储是一个“整体排列”，而必则是“局部排列”•例14.①有n个不同座位，A、B两个不能和邻，则有排列法种数为A^-A；Abfin-il②冇n件不同商品，若其中八、B排在一•起冇矿冷;./I—I2.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有人2.卅注：①③区别在于①是确定
6、的座位，有盂种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.2.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们Z间或两端的空档中，此法主耍解决“元素不相邻问题”•例15.：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少？”嘗（插空法），当n-fl—Rln—9n4-1即mWtLl时有意义.3.占位法：从元索的特姝性上讲，对问题中的特殊元索应优先排列，然厉再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置•即采用“先特殊后一般”的解题原则.4.调序法：当某些元索次序一定时，可川此法.解题方法是：先将n
7、个元素进行全排列有种，加（加YM）个元素的全排列有船；种，由于要求m个元索次序一定，因此只能取其屮的某一种排法，可以利用除法起到去调序的An作用，即若〃个元素排成一列，其中刃个元素次序一定，共有亠种排列方法.A,n例16：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共冇多少种不同的排法？C"C"••&平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有一.C2例17：从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有厶=3（平均分组就用不着管组与组之2!间的顺序问题了）乂例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？君
