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1、排列组合应用问题的求解策略初探摘要:每年高考中,排列组合的应用题都会以选择或填空题形式出来。题目不多,主要考查两个基本原理、排列组合概念及基本运算。但其思考方法独特,求解思维新颖,解题中极易出现“重复”或“遗漏”的问题。 关键词:排列组合;求解策略 每年高考中,排列组合的应用题都会以选择或填空题形式出来。题目不多,主要考查两个基本原理、排列组合概念及基本运算。但其思考方法独特,求解思维新颖,解题中极易出现“重复”或“遗漏”的问题。如何突破这些难点呢?本人结合高三数学复习实践,归纳出几种常见的解题策略。 一、间接法 对于一些有限制条件的问题,先以总体
2、考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合应用题的一种常用策略。 例1.四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(?摇?摇)。 A.150种B.147种C.14种D.141种 分析:在这10个点中,不共面的不易寻找,而共面的容易找。故采用间接法,由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求,4点共面的情形可分三类:第一类,四面体每个面中的四个点共面,共有4×C46=60种;第二类,四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形,则这四点共面,共有3种;第三类,四面体的一条棱上三点共线,这三点与对棱
3、中点共面,共有6种。故4点不共面的取法有C410-(4C46+6+3)=141种。 二、分类 某些问题的处理可分成若干类,则可用分类计数原理分类处理,但要注意不重不漏,即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集,否则容易出现遗漏和重复选取的错误。 例2.已知集合A和集合B各含12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数: (1)C?奂A∪B,且C中含有3个元素 (2)C∩A≠?覫(?覫表示空集) 分析:由题意知,属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8,因此满足条件(1)、(2)的集合C可分三类,故所求集C的个数
4、是C112C28+C212C18+C312=1084。 三、插空法 某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素间。 例4?摇.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不相邻,问有多少种不同排法? 分析:先将6个歌唱节目排成一排,6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目,故共有A47·6!=604800种不同排法。四、捆绑法 把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素
5、在这些位置上全排列,即“捆绑法”。 例5.?摇A、B、C、D、E五人并排站成一排,如A、B必相邻且B在A右边,那么不同排法有(?摇?摇)。 A.24种B.60种C.90种D.120种 分析:将特殊元素A、B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素,与另外三个元素全排列A44,由A、B不能交换,故不再“松绑”,选A。 五、消序 例8.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法? 分析:先在7个位置上任取4个位置排男生,剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A47·1=840种
6、。 六、投信问题 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“信”,能重复的元素看作“邮筒”,再利用分布计数原理直接求解的问题称为“投信问题”。 例9?摇.七名学生争夺五项冠军,获得冠军的可能的种数有(?摇?摇)。 A.75B.57C.A57D.C57 分析:因同一学生可同时夺几项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作七个“邮筒”,五项冠军看作5封“信”,每封“信”有7种投法,由分步计数原理原理得75种,选A。 对此类问题,常有疑惑:为什么不以五项冠军作为五个“邮筒”呢?因为几个学生不能同时夺
7、得同一冠军,即冠军不能重复。 七、构造 在解与立体几何知识综合的应用题时,认真分析问题的几何特征,充分揭示问题的几何联系,构造几何图形也是一种常见的求解途径。 例10?摇.对正方体的8个顶点作两两连线,其中成异面直线的有(?摇?摇)。 A.156对B.174对C.192对D.210对 分析:由于每一个三棱锥对应于3对异面直线,故可构造三棱锥,问题即转化为正方体8个顶点构成三棱锥的个数,易得异面直线有(C48-6-6)×3=174(对),选B。 以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略,这些策略不是彼此孤立的,而是相互依存,相互为用的。有时解决某一
8、问题时要综合运用几种求解策略,此外还有
