排列组合计数问题的常见类型与求解策略

《排列组合计数问题的常见类型与求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、18数学通讯——2O13年第9期(上半月)·辅教导学·排列组合计数问题的常见类型与求解策略姚先伟(四川绵阳东辰学校高中部，621000)排列组合计数问题形式多样，解法灵巧，它要色衣服1人的5位同学站成一排，要求身穿同色衣求解题者富于联想、思维严谨、转换准确，对这类服的人不能相邻，则不同站法有多少种?问题掌握的好坏是衡量思维品质优劣的有力标解法I(直接法)若按“蓝黄黄蓝”或“黄蓝杆，自然就成为培养思维能力的重要工具，也是高蓝黄”站，穿红色衣服的只能站正中间，共有考与竞赛的命题热点．本文介绍排列组合计数问2AlA；种站法；题的常见类型及相应的解题策略，供读者参考．若是

2、按“蓝黄蓝黄”或“黄蓝黄蓝”站，穿红色1．可重排列——运用基本原理策略衣服的插空，共有2A；A{种站法．例1小于i000的自然数中，各位数字上不于是共有2A；A；+2A；AiA{一48种不同含数字7的数有多少个?站法．解小于i000的自然数包含0、一位数、两位解法2(间接法)5人全排列有A；种不同排数和三位数，若注意到“0可表示为000，1可表示法，减去同色相邻的排法2A；A：种，但黄、蓝二色为001，l1可表示为O11”等，那么，小于1000的自同时相邻的有Al·A；·A；种排法减了两次，于是然数中，各位数字上不含数字7的数的个位、十位、共有A；一2A；·A：+

3、A；·A；·A；一48种不同站百位都有9种选法，故共有9×9×9—729个．法．例2安排3名教师去6所学校支教，每所学例6某仪表显示屏上有7个小孔排成一排，校至多安排2人，共有多少种安排方式?每个小孔可显示出符号“0”与“1”之一，若每次显解每名教师去6所学校中的一所有6种安示其中三个小孔，但相邻两个小孔不能同时显示，排方式，但每所学校至多去2人，即3人去同一所则这个显示屏可以显示的不同信号种数是多少?学校不合题意，于是共有6×6×6—6=210种安解本题相当于在4个不显示的小孔之间的排方式．5个空隙中插入3个显示的小孔，每个孑L又有两种2．相邻问题——归类捆绑策

4、略显示方式，于是共有C·2。一80种不同信号种数．例3将含甲、乙两人在内的8个人排成一4．“特殊元”问题——优先安排策略排，求甲、乙两人之间恰有3人的不同的排法数．例7将5个不同的红球和两个不同的黑球解在甲、乙两人之外的6人中任选3人安排排成一排，在两端都是红球的排列中，其中红球甲在甲、乙两人之间，这5人作为一整体再与另3人与黑球乙相邻的排法有多少种?作全排列，共有A2A；A：一5760种不同排法．解从安排特殊元“甲”、“乙”人手．甲球排例4现有3位男生和3位女生共6位同学站两端与乙球相邻有2A：Aj排法；甲不排两端且甲、成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只

5、有乙两球相邻有种方法．于是共有2AlA十两位女生相邻，则不同排法的种数是多少?A；AiA一768种不同排法．解6位同学站成一排，3位女生中有且只有例8由0、1、2、3这四个数字能组成多少个两位女生相邻的排法有A；AjAi==：432种，其中男个位数字不是2的没有重复数字的四位数?生甲站两端的排法有AiA；AjAj一144种．故符合解法I(直接法)0作个位有A；个，0不作条件的排法AiAjAj—A；A；A；A；=288种．个位(2也不能作个位)有A!AjA；个，于是共有A；3．不邻问题——分隔插空策略+A；A5A；一14个四位数．例5将身穿蓝色与黄色衣服各2人、身穿

6、红解法2(间接法)AI一2A；+A；一14．·辅教导学·数学通讯——2O13年第9期(上半月)195．“至多”、“至少”问题——分类讨论或反面CIC'C421—30种¨．求解策略7．排列、组合混合问题——先选后排策略例9某校要求每位同学从8门活动课中选例14有6人划船，左、右各坐3人，其中2人修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同只能划左浆，1人只能划右浆，则不同坐法有多的选课方案有多少种?少种?解法1(间接法)从8门功课中选修5门有解这6人中有3人既能划左浆又能划右浆，C；种选法，甲、乙两门课程都不选有C；选法，于是从3人中选1人划左浆，那么左、右各3人

7、的坐法有共有C；一C2—50种选法．CjA；A；一108种．解法2(直接法)甲、乙两门仅选修一门有例15将5本不同的书分给3名同学，每人C；C：种选法；甲、乙两门都选修有C；C；种选法，故至少一本，共有多少种不同分法?共有C：+C2—5O种不同选法．解5本不同的书分给3名同学，每人至少一例10从5位男老师、4位女老师选出3位老本有两种情形：1本、1本、3本；1本、2本、2本．于是师去参加教研活动，要求选出的3位老师中男老1师、女老师各至少有一人，则不同的选派方案有多有ciAi+÷C；A；一150种不同分法．厶少种?8．多种情形问题——一分类枚举策略解法1从9位老师

8、中选出3人