探索性问题的常见类型及其求解策略

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1、探索性问题的常见类型及其求解策略苍南灵溪二高陈敏在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点Z-。正因如此，初等数学屮冇关探索性问题也就成为人家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是i种具有开放性和发散性的问题，此类题口的条件或结论不完备。要求解答者口己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方血的能力，使学住经丿力一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程

2、。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一.条件追溯型这类问题的基木特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正谋需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程屮，常常会犯的一个错谋是不考虑推理过程的可逆与否，谋将必要条件当作充分条件，应引起

3、注意。例1设函数/(x)=sin2x,^y(x+r)是偶函数，贝91的一个可能值是.分析与解答:V/(x+r)=sin2(x+t)=sin(2x+2/冈(兀+/)是偶函数,/./(x+r)=/(-x+r)即sin(2x+2/)=sin(-2x+2r)。由此可得2k+12x+2t=-2x+2/+IkTt^lx+r=^-(-2x+2r)+2k兀(keZ)Z.t=——"伙wZ)・4评注：木题为条件探索型题冃，其结论明确，碍要完备使得结论成立的充分条件，町将题设和结论都视为己知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题耍求学生变换思维方向，有

4、利于培养学生的逆向思维能力.二.结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常町先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例2若干个能惟--确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设｛①｝是公比为q的无穷等比数列，下列仏｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是笫组.(写出所有符合要求的组号)①Si与S2；②氐与S3；@Qi与3n；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为仏｝的前n项和。分析与解答：(

5、1)由3和S2,可知令和a?。由^=q可得公比q,故能确定数列是该数列的“基本口用・O(2)由％与S3,设其公比为q,首项为令，可得=aAq,aA=—,53=ax^a｝q^a｝q2~q:.S3=^+a2+a.q,Aa^q1+-S.)q+a2=0.?w足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列｛%｝的基本量。(3)由务与a,口J得J=二虫，当n为奇数时，qnJ能有两个值，故不一定能确定数列,所以也不一定是数列的一个基本量。(4)由q-Uan,由an=axcC可得Q严半,故数列｛%｝能够确定，是数列仏｝的一个基木

6、最。q故应填：①、④.评注：数学需耍解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基木量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全而考察问题的各个方而,不仅可以训练H己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解.例3规定C,二H兀_1)…(兀_加+",其中XG/?,m是正整数，且C>1,这是组合数C：ml(n,m是正整数，且m

7、能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(III)我们知道，组合数C：是正整数.那么，对于C；“，“R,加是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些C；eR成立的例子吗？分析与解答：(I)C515=(~15)(~16)-(-19)=_!1628.155!(II)一个性质是否能推广的新的数域上，首先協要研究它是否满足新的定义.从这个角度很快对以看出：性质①不能推广•例如当x=y/2时，C&有定义，但c洼'无意义.性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：C；"+C「=C鴛，其中xwR,加是正整数.类比于性质①的思考方法，

8、但从定义上是看不出才盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论.事实上,当加=1时，c'+Cf=x+l=C*+1.当m>2时,c；"+cr1x(x-+x(x-1)---(x-7