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1、存在性问题的求解策略南充一中张军(637100)存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题。这类问题的知识覆盖而较广，综合性较强，题意构思非常巧妙，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。是近儿年高考的一个“热点”。在小学数学小常出现“是否存在”，“证明存在”,“总可以找到”等命题形式都属于存在性问题，这类问题的求解充满了辩证思维，方法丰富多彩，从教学中我们深有体会。置此，对这类问题的求解策略发表个人管见。一•特殊化策略从特殊到一般是解数学问题的一种重要思维方法，对于某些存在性问题，首先探究其特殊情况(如特殊数、特殊点、特殊图形、特殊元索等)通过观察、类比、
2、归纳、推广等方法来发现解决-•般情况的途径。例1.在口然数集上定义函数y=/(/i),/(l)=2,/(h+1)=4_如i⑺)+2问:是否存在实数a,b使f(n)=——+1对任意nwN成立，证明你的结论。a｛--Y-b2解：若存在实数a,b符合题意，则取21,得/(1)=——-——+1=2即工a+b=・l……(1)a(——)_b22取”2,得f(2)=一——a(--)2-b21ill(1)(2)得a=—=—5+“册即=…(2)然示用数学归纳法证明f(n)=2——+l(/?wN)成立，从而把结论推广到-(-—Y_丄525一般。(证明从略)二•递推策略假定结论的某方面成立，结合己知
3、条件演绎推理，探求英内在联系。在推理过程中，若能肯定假设，那么问题已经解决；若出现才盾，即可否定假设而得出相应结论。(这种策略在能保证推理过程的等价性下才能采用)OrI1例2.设数列｛暫冲，求证：存在不等的常数a,b使得，由儿=^L(nEN)所构成的数列｛儿｝是一个等差数列。证明：若存在常数Q,b(aHb)使｛儿淀等差数列，贝IJ对一切皿川2xn+1空—+Q由已知得：儿4=山》+:二"+I+b_£■2xn+1z5—+bXn儿+厂儿=d(d是常数)……(I)即畑⑵_(a-2)xn-1"0-2X-1由⑴⑵得込=d(D恒成立(b-2)心-1xz,+b整理得：Axfl2+Bxn+C=O(
4、neN)……(3)其中A=(b・2)d-(a-b),B=(b2-2b-)cl-2(a-/?),C=-bd-(a-b)要使(3)对一•切ngMI成立，当且仅当A=B=C=Q(a-b)d=a-b(4)即＜(b2_2b_)d=2(a_b)……(5)bd=—{a-b)(6)若d=0,贝ll有a=b=0与aH方矛盾••・dH0,从(4)(5)(6)中消去d解得a=-l,b=id=2故存在常数符合题意。三•极端化策略极端化策略就是把所研究问题极端化，从研究问题的极端悄况(如最值、图形的极端位置)來寻求解题途径。例3.在四棱锥P-ABCD中，PD丄底面ABCD,PD=DC,F是PB中点，问
5、在线段AD上是否存在点G使得GF丄平面PCB,若存在说明G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。证明(方法一)：在线段AD±存在点G,使GF丄平面PCBKG点是AD的中点。取AD的中点G,连接PGBG.则PG=BG,又F为PB中点・・・GF丄PB设F在底面ABCD上的射影为正方形ABCD中点O,连接GO,GO为GF在平面ABCD上的射影由GO丄BC,得GF丄BC。•••BC,PB是平面PCB内的两条相交直线，・•・GF丄平面PCB(方法二)在线段AD±存在点G使GF丄平而BCD,1LG为AD的中点。分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴，P建立空间直角处标系。设
6、g则D(0,0,0),畑0,0)皿,询口0,讪川雳,非(0,0,°)设G(X,0,0),则FG=(X-y-p-y)JJTTFGCB={xI，送)WO)W拧)“即兀=0・•・G点的坐标为(-,0,0),即G点为AD的中点。2四•充分性策略逐步探求结论的某方而成立的充分条件，在探求过程中，若能肯定充分条件成立，就可以得到相应的结论成立。例4.已知/(x)=8x2-6也+2k+1,问是否存在实数k,使方程/(x)=0的两根是直角三角形两锐角的正弦。jr解：设/(X)=0的一个根为sina,另一个跟为sin(——a)-cos%显然sina>0,2cosa>0,由题意得：fA=(一6疔-4
7、x8x(2)t+1)>0……(1)⑵•⑶Jsina+cosa二一k>0...4•2£+lnIsina•cosa>08•・•(sin^+cosa)~=l+2sinacosa37-2k+1.・•(一幻「=l+2x48解得匕=2卡2=-—9由(2)矢Wk>0/.k2=-—舍去-9当R=2时，A=-16与(1)矛盾故不存在适合条件的实数£满足题意。五•数形结合策略利川图形的直观形象对某些存在性问题采用数形结合策略可以化繁为简，化难为易。例5.设a,b是两个实数，A=^x,y)x=n,y
