中学数学中的函数思想

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1、中学数学中的函数思想【】函数部分知识是高中数学知识基础，也是高考命题重点之一，函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一，函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。　　【关键词】中学数学教育；函数思想方法；函数

2、关系；单调性；周期性；奇偶性；　　一、引言　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方

3、法之一，故有“函数乃高中数学之纲”说法。函数的思想方法就是运用运动和变化的观点,集合和对应的思想,去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图象和性质,使问题获得解决.　　函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。　　用函数的观点、方法研究问题的方法：　　将非函数问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。实　　际上，函数方法就是RMI（

4、关系映射反演则）的一个具体体现，应用函数思想方法解答数学习题的过程可用框图表示为：　　二、中学数学中的函数思想　　中学数学主要学习初等函数，由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示，但y=

5、x

6、是初等函数。　　高中函数定义：设，是非空的数集，如果按照某种确定的关系，使对于集合中的任意一

7、个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数。　　函数思想方法，不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题。构建函数关系式，使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函数思想的核心。因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。中学数学中，代数式、方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；特别是高中数学教材中，函数思想的内容相当广泛。　　三、函数思想方法在中学数学解题中的应用　　函数思想方法的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质

8、，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。有些方程问题可以用函数的方法解答，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，而且要常常借助函数的图象进行转化。常用有以下一些方法：　　（一）、利用函数的定义域,值域思想方法　　例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。　　分析：“函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量取值的最大范围”，　　解：依题设，，解析式有意义即“对任意x

9、∈R都有成立”即方程无实根成立，分类讨论，　　当时，满足要求；　　当时，则有，即时满足要求。　　综上：　　例2．已知的定义域为，求函数的定义域。　　解：由的定义域为可得的定义域为，由，解得或　　∴的定义域为　　（二）、利用函数的单调性思想方法　　例3．已知函数在上是增函数，求的取值范围。　　分析：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。　　解：的对称轴为：　　由题意可知：所以　　例4．比较三者的大小.　　解：　　　　由于幂函数在上是严格单调增函数，所

10、以　　（三）、利用函数的奇偶性思想方法　　例5.函数是偶函数，则函数的对称轴是（）　　A、B、C、D、　　解：由为偶函数可知对称轴为，由转化为　　是将函数图像向左平移了个单位，∴的对称轴为　　例6.求证：　　分析与证明：设.因为　　　　，　　所以是偶函数，图象关于轴相对称。因为当时，，　　所以，即。　　（四）、利用函数的周期性思想方法　　例7．设定义在Ｒ上的奇函数且满足,当时,,求.　　解：，，　　　　（五）、利