新课标下函数单调性在非函数试题中另类应用

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1、新课标下函数单调性在非函数试题中另类应用函数单调性是函数的非常重要的性质，函数单调性不但在函数试题中具有广泛的作用，而且在许多非函数试题中也具有很重要的应用。本文举例说明函数单调性在非函数试题中的另类应用。一、函数单调性在解方程中的应用若函数f(X)在区间I上是单调函数，则方程f(X)=f(y)在区间I上有解的充要条件是x=y:。例1:在实数范围内解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0。分析：这是一个高次方程，如果按常规：先去括号、后移项、再化简，十分麻烦。但若不展开，而直接把(5x+3)3看成一个整体，配方出(5x+3)，就会把复杂的高次方程，转化为比

2、较简单的方程求解问题，再利用函数的单调性，就很容易求得原方程的解。解：原方程等价转化为(5x+3)3+(5x+3)=_(x3+x)：设函数f(x)=x3+x，则f(x)为奇函数，并且在实数集R上是单调递增函数，这时，原方程又可等价转化为：f(5x+3)=-f(x)=f(-x)。由函数的单调性可知：5x+3=-x,=〉X=-。即原方程的实数解为：x=-o二、函数单调性在求值中的应用例2:已知实数x、y满足x3-3x2+5x=l，y3-3y2+5y=5,求x+y的值。分析：由这两个方程决定的实数X、y应该可以通过解方程的形式获得求解，但这肯定不是原题的初衷。分

3、析这两个方程的结构，非常相似，对它进行等价变形，可以使其进一步接近。解：由x3—3x2+5x=l，=〉(x-1)3+2(x-1)+2-0；y3-3y2+5y=5,=>(1-y)3+2(1-y)+2=0。设函数f(z)=z3+2z+2o显然，该函数f9z)在实数集R上是单调递增函数，由上述结果可知：f(x-1)=,f(1-y)=0即f(x-1)=f(1-y),由函数的单调性可知：x-l=l-y，=〉x+y=2o三、函数单调性在证明恒等式中的应用例3:已知x3+sin3-2a=0,xE-，，4y3+sinycosy+a=0,yG-，，求证：cos(x+y)=c

4、osy0分析：本题已知条件初看比较繁，学生往往感到无从下手，但若构造一个新的函数f(x)=x3+sinx，利用该函数的单调性，可比较简洁地获得证明。证明：令函数f(x)=x3+sinx由已知x3+sinx-2a=0，=>2a=x3+sinx=f(x)，xE-，；又由4y3+sinycosy+a=0=〉2a=-8y3-2sinycosy=(~2y)=f(~2y),-2yG-，则f(x)=f(-2y)，且xE-，，-2yE-，而函数f(X)=x3+sinx在区间-，上是单调递增函数，贝1J有x=-2y，=〉x+y=-y，因此：cos(x+y)=cosy四、函数

5、单调性在解不等式中的应用若函数f(X)在区间I上是单调递增函数，则在区间I上有：f(x)〉f(y),x>y；或者f(x)xf(y)，xxO，有f(x)0为常数，解不等式f(ax2)-f(x)〉f(a2x)-f(a)。解：原不等式等价转化为：f(ax2)-f(a2x)>2[fx)-f(a)]，由已知得：f(x)-f(y)=f[(x—y)+y]—f(y)=[f(x-y)+f(y)]-f(y)(x_y)，则原不等式可进一步等价转化为：f(ax2-a2x)〉2f(x-a)=f(2x-2a)o设xl〉x2，即xl-x2〉0，则f(xl)-f(x2)=f(xl~x2)

6、f(xl)时，原不等式解集为：x(1+n)m证明：由于i，m，n是正整数，且lln3〉l，=〉f’(x)，=>nln(1+m)>mln(1+n),=>ln(1+m)n>ln(1+n)m，因此：(1+m)n>(1+n)mo六、函数单调性在求恒成立不等式的参数范围中的应用例6:已知不等式++…+〉2a-9对一切正整数n恒成立，求正整数a的最大值解：设自变量为n的函数f(n)=++〜+，其中nEN*由f(n+1)-f(n)=■=〉0，=>f(n+1)〉f(n)可知：函数f(n)在neN*时是单调递增函数，则函数f(n)的最小值为：[f(n)]min=f(1)=+

7、+=。因此，符合七、函数单题意的正整数a应满足的条件为：2a-9a调性在数列中的应用由函数单调性的定义得，若数列｛an｝中满足an+l-an>0,则数列｛an｝叫做单调递增数列；若an+l-an>0，则数列｛an｝叫做单调递减数列。对两个重要的基本数列讨论：在等差数列｛an｝中，由等差数列通项公式知：an=al+(n_l)d=dn+(al-d),则数列｛an｝为单调递增数列的充要条件是d〉0;数列｛an｝为单调递减数列的以要条件是dO且q〉l，或alO且01。利用函数单调性在求解数列参数范围或数列最大(小)值时有较多应用。例7:已知数列｛an｝的通项公式a

8、n=3•()n_l[()n_l_l]，求数列｛an｝的最大值和最小