整体法在函数解题中的应用

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1、整体法在函数解题中的应用M?克莱因说：“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系。”数学的思想方法则是数学的灵魂和精髓。整体思想是高中阶段较为重要的数学思想。在解题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，这是一种常见的有效的方法。但还有许多的数学问题需要我们从整体出发，突出对问题整体结构的分析、判断，发现问题的整体结构特征和逻辑关系从而找到最合理，最简捷实用的解题方法，使问题化难为易，化繁为简，提高解题效率。函数是整个中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，

2、是整个中学数学的基础，也一直是高考中的大热点，应用整体方法是解决高中函数问题的重要途径方法。S初等函数中“整体换元”的简指数函数、对数函数、幂函数等的复合函数的求解问题中，常将“内层函数”看做一个整体来处理，通过“整体换元”，简化结构形式，便于试题分析，提高解答的速度与正确性。案例1:求函数y=+[2,4]的最大值？整体换元，令t=，所以原函数化为y=t+，因为xG[2,4]所以氏[1，2].根据y=t+“双钩”函数特征知函数在te[l，2]中是单调递减，也可通过求导判断函数¥=1+的单调性可得原函数在xe[2,4]的最大值为t=l时的值5。通过整体换

3、元后，简化了等式方程的结构，提高了答题效率。二、目标函数中“整体代换”的变用线性约束条件下，常将目标函数“整体代换”，或调配目标函数结构，充分利用约束条件做整体代换，令我们的解题思路豁然开朗，解题中产生耳目一新的感觉和收获。案例2:(2015全国卷)若，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为通解通法;做出可行域，变形目标函数y=-x+z.平移y=-x获取直线图形截距最大值，即x=l，丫=时zmax=。解法虽得当，但解题繁琐，用时过长，作为一道填空题，是否有更简捷实用的解题方法？观察线性约束条件特点，调配目标函数，做整体代换。z=x+y=(x-2y)+(

4、x+2y)?Q.X0+X2=当x-2y=0，x+2y=2，即x=l，乂=时zmax=o比较两法第二种解法简便，给人全新的解题感收。同时启发我们，能否变形线性条件，利用不等式性质得出目标函数最值？三、二元函数中“整体代换”的巧用二元函数最值问题在近几年的高考中频频出现，常见的方法有将二元转变为一元法、不等式放缩法、基本不等式法、转化为线性目标函数最值法等，而“常值整体代换”与重组后“整体代换”是求二元函数最值的主要方法。案例3:(2015南通、扬州、等地高三调研试题)已知正实数x、y满足x++3y+=10，则xy的取值范围为？本题可用整体代换将二元函数式

5、转化为一元式，设k=xy，得y=代入x++3y+=10化简整理成关于x的一元二次方程。然后根据方程在x取值范围内存在两个正实根的条件得出xy的取值范围。我们也可对已知二元等式进行重组变形，做整体处理，利用基本不等式放缩法求得xy的范围。10=x++3y+=(x+)+(+3y)?R2化简可得；(3xy-8)(xy-1)<0，解不等式得xy的取值范围是。通过常值整体代换与重组后整体代换使二元函数最值的求解峰回路转，迅速获得了解题的途径方法。四、三角函数中“整体代换”的互用三角函数中广泛应用整体法求解，如：求函数对称轴、对称中心、单调区间与最值，均可将看做一

6、个整体，进行整体代换，再利用y=sinx的性质进行处理，在解三角形中也可将正弦公式、余弦公式，整体互代，化简已知，简便求解。五、导函数求解中“整体求导”的活用函数中常有参数取值范围的确定与不等式恒成立问题的证明等，常要通过分离参数构造新函数或移项变形构造新函数，将新函数看做整体，通过整体求导确定新函数的单调性，利用不等式性质得出参数范围，证的不等式恒成立。综上所述，数学的教与学不能仅满足单纯知识的积累与演练，在知识的学习和能力提高过程中注意数学思想的整理和深化，才会使学生在学习中清理思维障碍，巧妙解决问题。函数是高中数学的重要内容，函数渗透于整个高中数

7、学中，学习和教学过程中有意识地渗透整体思想，可以使学生从全局着眼，整体把握，简捷明快地解决问题，从而激发了学生的数学思维，提高了学生的数学思想。