一类随机利率下的年金精算

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1、上海交通大学硕士论文险公司的年金给付，被保人何时死亡，年金给付何时停止。年金有多种分类，通常情况下的分类有：金额是在每一期的期末（如年末。月末等）支付的延付年金与金额是在每一期的期初（如年初、月初等）支付的初付年金；年金的给付在签约后即刻开始的即时年金与经过一段时间后才开始的延期年金；年金的给付在签约后即刻开始的即时年金与年金的给付无限期延续的无限期年金等。1.4年金与利息的一些关系年金是一个有限时间下的按序列的给付，于是，不妨定义这个有限的时间段为n，年金的积累值，也称为年金的终值，是与利息密切相关的。经典的，简化的模型就是假设基本利息率是固定的，任意年都是相同的。然而

2、，未来年份的利率既不是已知的，也不是固定不变的。那么，我们有理由使得利息率按时间随机波动。我们假定利率是一个与历史相关的随机过程，进一步的，假设他是一个未来只与现在有关，与过去无关的马尔可夫过程。应用这个假设是为了使用递推等方法，确定一些基本的年金种类的年金终值的期望和方差。由利率的历史数据，我们使用了两种不同的模型进行模拟，为的是客观多样地描述年金的未来k年的终值。第二章，我们介绍了已有的年金精算的基本理论，在固定利率的假设下，一些类型的年金的积累值。以及进一步的，在随机利率假设下，不同类型年金的终值。这里的随机利率是拥有相同期望和方差的不相关的随机变量。第三章，我们利

3、用了AR（1）的时间序列模型，模拟了方差无界的情况下利率的变动行为，并且利用递推的方法计算了在这种模型下的年金精算终值的期望，这个模型有一个利率可能为负的缺点，所以，我们之后计算了模型成立的条件，并对模型不成立的特殊情况做了修正的计算。然后我们模拟了离散化利率状态空间之后的终值的期望和方差。并且对模型的参数进行了假设检验。第四章，我们讨论了更一般的模型，并对方差进行了定性的分析，在方差收敛的条件下，对达到平稳分布和一般情况的年金的期望重新进行了计算，并且进行了比较。由于AR（1）模型的利率不恒正的这一缺点，在第五章中，我们利用了另外一个模型规避了这一个问题，将利率视为金融

4、资产，利息力即为收益率，在这个模型下，重新计算了年金精算值的期望与方差。最后，我们分析了上述模型的一些优缺点，以及一些待解决的问题。-4-上海交通大学硕士论文第二章固定和随机利率年金精算的一些结论1.4固定利率下的年金首先，我们回顾一下年金的基本理论。令j是正的年利率，在n年内都是固定不变的。年贴现率d由下述公式给出。d=j1+j年贴现因子v由下述公式给出：v=11+j显然有：v+d=1在这篇文章中，我们主要关注年金的积累值或者说终值（现值可以由终值反推）。我们之后假设k≤n，其他特殊情况会注明。年给付为1的k年给付的积累，由下面的公式给出：s值记为kjskj=(

5、1+)k−1jd以及递推公式s=(1+j)k+(1+j)k−+...+(1+j)=(1+j)(1+s)1kjk−1j以下是按算术级数与几何级数给付的年金终值与递推公式。(详见[10]Boyle,P.P.,1976.)（1）算术级数：设初始给付为p，每次递增q，形成一个形如（p,p+q,p+2q,…,p+(k-1)q）的给付列。注意到p必须是正的，q必须满足p+(k-1)q>0，以避免负值给付的出现。这样的年金给付终值记为(s)pq(,)akj，由下式定义：()pq(1)k()(1)k...((1))(1)(1)(1)s(,)=p+j+p+q+j−1++

6、p+k−q+j=+j+sakjk−1j-5-上海交通大学硕士论文s(s)pq=(p−q)s+q(I)(,)akjkjkj其中(Is)=s−k，为年金按1，2…k的k年给付的积累值。kjkjd（2）几何级数：初始给付为p，几何级数的增率为q（q≠1+j）。形成一个形如(ppqpqpq−),,,...,k的给付列。我们注意到p，q必须都是正的以保证不会出现21负值给付。这样的年金的积累值记为(s)pq，由下式表出：(,)gkjj (s)(p,q)=p(1+j)k+pq(1+j)k−1+pq2(1+j)k−2+...+pqk−1(1+)gkj=p(1

7、+j)(1j)q+k−k1+j−q1.4不相关随机利率下的年金：如果利率是随机的，现在令第k年的年利率是一个正的随机变量i。假设对k每个k，我们有Ei=j>以及()21,2,...,n()0Vari=s，另外，iii是不相关的随机变kk量。对年给付为c1,c2,...,ck的k年年金的给付变量，相应的，记它的终值为C。k以及以下记号E(1+i)=1+j=uk及E⎣⎡+i⎦⎤=+j+s=+f=m(1)(1)1222k（1）按算术级数增长的年金(详见[7]Zaks,2001)在给付按算术级数的情况下，年金的终值的递推式如下：C=+