函数拐点的判别与求法探讨

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1、函数拐点的判别与求法探讨：本文主要通过一些典型例题对函数拐点的判别与求法进行了探讨。包括利用定义、极值定理、二阶导数变号法、函数奇偶特性等方法进行判别和求之。　　关键词：函数；拐点；极值；导数　　定义：设函数在区间上连续，在内可导（或导数为无穷大），则曲线凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。下面笔者就对函数拐点的判别与求法作一介绍。　　一、利用定义求之　　设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则可按下述步骤判定并求出曲线的拐点：1、求；2、令，求出该方程在内的所有实根；3、对于2中求出的每个实根检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近分别保持一定符号，

2、那么两侧符号相反时，是拐点；两侧符号相同时，不是拐点。尤其是函数在点连续、存在、不存在的点仍可能是拐点，或者为无穷大的点也可能是拐点。　　例1：求下列曲线的拐点坐标　　1）；2）；　　解：1）在内连续，　　因为，　　故无零点，不存在。　　当时，；当时，；　　故拐点坐标为。　　2）===；　　===　　令，得，当时，不存在。　　当从或1左右邻近变动时，变号，故在处有拐点。因为由参数方程确定的函数的定义域为，为曲线的端点，故不是拐点。　　例2：使“概率曲线”在点处有拐点，试确定和的关系。　　解：，，　　令，得　　当时，；当时，；　　故当时，有拐点，即；　　二

3、、利用下述极值定理判别并求之　　定理：假设在的某邻域内具有阶连续导数，且　　，，则　　1、当为偶数时，为极值点，且当时为极小值点；　　时为极大值点。　　2、当为奇数时，不是的极值点，而是其拐点。　　例3：若，，问是否为极值点，为什么？是否为拐点，为什么？　　解：因为，不妨设，　　==　　由此知，要与同号，故在的左、右邻近变号。　　故为拐点。因而不是极值点。　　例4：求曲线的拐点。　　解：，，。　　显然，，　　故为曲线的拐点。　　三、不存在，用二阶导数变号法判定是否为拐点　　若在点左右邻近存在且异号，则点是曲线的拐点；若同号，则不是曲线的拐点。而当不存在时

4、，不能就认为没有拐点。此时应首先看是否有定义。如果有定义且连续，应在的一个小邻域内，由左右两边的点的二阶导数是否变号来确定。假若无定义，曲线在处没有拐点，即使在的左右邻近二阶导数存在，且符号相反也不能称点为拐点。如原点就不是曲线的拐点。　　例5：求曲线的凹凸区间及拐点。　　解：函数的定义域为。　　=　　==　　当时，；当时，不存在，故以和将定义域分成三个部分区间；在内，，曲线是凸的；，在内，，曲线是凹的；因此是曲线的拐点，而在处曲线无拐点。　　例6：讨论下面曲线的凹凸性，如有拐点，试求出：　　与　　解：这两个函数在原点即分段点处不可导。易求得　　　　因此

5、，对于曲线，当时，，曲线是凸的；当时，，曲线是凹的；故原点为其拐点。而对于曲线，当时，，曲线是凸的；当时，，曲线仍是凸的；故曲线没有拐点。　　四、对奇偶函数可利用下述定理求之　　对奇偶函数，可利用下述定题的结论求之。若函数为周期函数，应利用周期性简化凹凸性的讨论及拐点的求法。　　定理：可导偶函数的图形在对称区间内凹凸性相同，且拐点关于轴对称。而奇函数则相反，且拐点关于原点对称。　　证明：设可导偶函数，则=，故，，即可导偶函数的二阶导数仍为偶函数。由此可知，在对称区间内其图形的凹凸性相同，且拐点关于轴对称。　　再设可导奇函数，则=，故，，即可导奇函数的二阶

6、导数仍为奇函数。由此可知，奇函数在对称区间内的图形的凹凸性相反，且拐点关于原点对称。　　由上述知，考察奇、偶函数图形的凹凸性和拐点只须考察时的符号就行了。　　例7：讨论曲线的凹凸区间与拐点；　　解：因　　该函数为奇函数，只须考察时，曲线的情况。　　　　　　当，时，。故以和将定义域分成两个部分区间；在内，，曲线是凸的；在内，，曲线是凹的；因曲线是奇函数，故在内，，曲线是凹的；在内，，曲线是凸的；由上述讨论可得曲线的拐点为，，。