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时间:2018-10-26
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1、函数拐点的判别与求法探讨:本文主要通过一些典型例题对函数拐点的判别与求法进行了探讨。包括利用定义、极值定理、二阶导数变号法、函数奇偶特性等方法进行判别和求之。 关键词:函数;拐点;极值;导数 定义:设函数在区间上连续,在内可导(或导数为无穷大),则曲线凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。下面笔者就对函数拐点的判别与求法作一介绍。 一、利用定义求之 设在上连续,在内具有一阶和二阶导数,则可按下述步骤判定并求出曲线的拐点:1、求;2、令,求出该方程在内的所有实根;3、对于2中求出的每个实根检查在左、右两侧邻近的符号,如果在左、右两侧邻近分别保持一定符号,
2、那么两侧符号相反时,是拐点;两侧符号相同时,不是拐点。尤其是函数在点连续、存在、不存在的点仍可能是拐点,或者为无穷大的点也可能是拐点。 例1:求下列曲线的拐点坐标 1);2); 解:1)在内连续, 因为, 故无零点,不存在。 当时,;当时,; 故拐点坐标为。 2)===; === 令,得,当时,不存在。 当从或1左右邻近变动时,变号,故在处有拐点。因为由参数方程确定的函数的定义域为,为曲线的端点,故不是拐点。 例2:使“概率曲线”在点处有拐点,试确定和的关系。 解:,, 令,得 当时,;当时,; 故当时,有拐点,即; 二
3、、利用下述极值定理判别并求之 定理:假设在的某邻域内具有阶连续导数,且 ,,则 1、当为偶数时,为极值点,且当时为极小值点; 时为极大值点。 2、当为奇数时,不是的极值点,而是其拐点。 例3:若,,问是否为极值点,为什么?是否为拐点,为什么? 解:因为,不妨设, == 由此知,要与同号,故在的左、右邻近变号。 故为拐点。因而不是极值点。 例4:求曲线的拐点。 解:,,。 显然,, 故为曲线的拐点。 三、不存在,用二阶导数变号法判定是否为拐点 若在点左右邻近存在且异号,则点是曲线的拐点;若同号,则不是曲线的拐点。而当不存在时
4、,不能就认为没有拐点。此时应首先看是否有定义。如果有定义且连续,应在的一个小邻域内,由左右两边的点的二阶导数是否变号来确定。假若无定义,曲线在处没有拐点,即使在的左右邻近二阶导数存在,且符号相反也不能称点为拐点。如原点就不是曲线的拐点。 例5:求曲线的凹凸区间及拐点。 解:函数的定义域为。 = == 当时,;当时,不存在,故以和将定义域分成三个部分区间;在内,,曲线是凸的;,在内,,曲线是凹的;因此是曲线的拐点,而在处曲线无拐点。 例6:讨论下面曲线的凹凸性,如有拐点,试求出: 与 解:这两个函数在原点即分段点处不可导。易求得 因此
5、,对于曲线,当时,,曲线是凸的;当时,,曲线是凹的;故原点为其拐点。而对于曲线,当时,,曲线是凸的;当时,,曲线仍是凸的;故曲线没有拐点。 四、对奇偶函数可利用下述定理求之 对奇偶函数,可利用下述定题的结论求之。若函数为周期函数,应利用周期性简化凹凸性的讨论及拐点的求法。 定理:可导偶函数的图形在对称区间内凹凸性相同,且拐点关于轴对称。而奇函数则相反,且拐点关于原点对称。 证明:设可导偶函数,则=,故,,即可导偶函数的二阶导数仍为偶函数。由此可知,在对称区间内其图形的凹凸性相同,且拐点关于轴对称。 再设可导奇函数,则=,故,,即可导奇函数的二阶
6、导数仍为奇函数。由此可知,奇函数在对称区间内的图形的凹凸性相反,且拐点关于原点对称。 由上述知,考察奇、偶函数图形的凹凸性和拐点只须考察时的符号就行了。 例7:讨论曲线的凹凸区间与拐点; 解:因 该函数为奇函数,只须考察时,曲线的情况。 当,时,。故以和将定义域分成两个部分区间;在内,,曲线是凸的;在内,,曲线是凹的;因曲线是奇函数,故在内,,曲线是凹的;在内,,曲线是凸的;由上述讨论可得曲线的拐点为,,。
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