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1、著名的无理数e:G633.66:E:1672-1578(2010)07-0245-01 :e在高等数学中有着广泛的应用,但它的影响力还不限于数学领域。文章介绍了无理数e起源、最常见的四种定义、相关性质、相关公式。 关键词:无理数定义性质公式 在高中数学里,大家都学到过对数的概念,也用过对数表。教科书里的对数表,是以10为底的,叫做常用对数。课本里还简略提到,有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数,称为自然对数,用这样奇怪的数为底,难道会比以10为底更自然吗?在高等数学里e在微积分里常常出现,在微积分学中起着关键作用。那么
2、到底是何方神圣?事实上它在我们口常生活中跟任何一个特定的整数一样被经常使用,就像经常使用圆周率一样,只是人们不能察觉它的出现。 一、e的出现 e虽然它在微积分里常常出现,却比微积分先诞生。至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,这个数的出现很可能和计算利息有关。大家都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多少,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;当然计息周期愈短,本利和就会愈高。一定是有某个人,我们不知道是谁,也不知是什么时候,注意
3、到下面这件稀奇事:如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间(理论上来说),会发生什麼状况?即如果本金P以年利率r计息,一年复利计息n次,若让n无限加大,1年后的总额为S=P(1+r/n)n。S会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,当P=1时,这个极限值大约是2.718。所以用现在的数学语言来说,e可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的。 第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它
4、没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(echanica)。虽然往后年日有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准。 二、最常见的四种定义 随着数学的发展有许多种不同的定义,最常见的是以下四种,这四种定义可证明是等价的。 (1)e定义为以下极限值 e=limn→∞(1+1n)n=limn→∞(1+n)1n (2)e定义为下列无穷级数的和 e=∑∞n=01n!+11!+12!+13!+…+1n!+… 这个无穷级数是牛顿在1665年发现的,我们可以在(1+1n)的二项
5、展开式中令n→∞,就可以得到上面的式子。(1+1n)n=1+n(1n)+n(n-1)2!(1n)2+n(n-1)(n-2)3!(1n)n整理得: (1+1n)n=1+1+(1-1n)2!+(1-1n)·(1-2n)3!+…+1n! 当n→∞时得过limn→∞(1+1n)n=1+11!+12!13!+…+1n!+…=∑∞n=01n! (3)定义e为唯一的数使得:limn→∞eh-1h=1 考虑bh-1h=1,得b=h(1+h)=(1+h)1h之两个式子是等价的。于是下面两个式子也等价:limh→0bh-1h=1及b=l
6、imh→0(1+h)1h,这个极限值就是e。因此要使limh→0bh-1h=1成立,b就必需等于e。 (4)定义e为唯一的数x>0使∫1x1tdt=1 三、e的相关性质 1e和π一样是一个无理数、也是一个超越数。 e是无理数这个事实,是由欧拉在1737年证明出来。下面给出是无理数的证明。 证明:假设e是有理数,设e=qp,在下式两边同时乘以q! e=1+11!+12!+13!+…+1n!+… 得:eq!=(qp)·1·2·3……q=p·1·2·3……(q-1) 此式右边为[q!+q!+3
7、·4+……q+4·5……+q+……+(q-1)·q+q+1]+1q+1+1(q+1)(q+2)++…… 左边很明显是整数,右边方括号内是整数,但剩下部分不是整数。因为q≥2 1q+1+1(q+1)(q+2)+…≤13+13·4+…≤13+132+133+=12 于是得到一个等式左边是整数,右边却不是整数,这显然是个矛盾。所以e是个无理数。证明了e是一超越数不是件易事,只到1837年法国数学家赫密特(CharlesHermite)特证明了e是超越数。九年后德国的林德曼证明π也是一个超越数。虽然很久以前就知道有这样两个数。但知道它们的
8、超越性才不过一百年的历史。这一认识是重要的历史跨越。
