一道省质检错题的辨析与思考

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1、一道省质检“错题”的辨析与思考摘要：近几年来，由于对于数学问题原创性的重视，越来越多的老师加入了试题命制者的行列，试题呈现“百花齐放”的局面，无不让人欢欣鼓舞，但“错题”、“偏题”、“怪题”时有出现，让人颇感无奈，本文通过2014年福建省高三年数学质量检查考试的一道“错题”的辨析，提出个人对于试题命制的几点思考，旨在引起命题者对于试题命制严谨性的重视，更好地服务于教学。关键词：质检，错题，连续函数，原函数2014年4月9日福建省高三年数学的质量检查考试硝烟散去，但试卷中有一个问题却引起了不休的争论，孰是孰非，让人伤透脑筋。题目1（理科卷第15题）设是函数的导函数，且.现给出以

2、下四个命题：①若是奇函数,则必是偶函数；②若是偶函数,则必是奇函数；③若是周期函数,则必是周期函数；④若是单调函数,则必是单调函数.其中正确的命题是。（写出所有正确命题的序号）题目2（文科卷第12题）已知是函数的导函数，且.下列命题中，真命题是（）A．若是奇函数,则必是偶函数B．若是偶函数,则必是奇函数C．若是周期函数,则必是周期函数D．若是单调函数,则必是单调函数这是同一个数学问题的两种不同的呈现形式，主要探究了函数及其导函数之间的函数性质的关联性问题，要求学生必须熟练掌握研究函数的基本方法，可以结合函数图像进行研究。在求解的过程中，更多的人是利用了举反例的方式排除错误命题

3、，题中后三个命题真假的判断没有异议，如：（1）是偶函数，而是非奇函数，第2个命题错误；（2）是周期函数，而是非周期函数，第3个命题错误；（3）若是单调函数，而是非单调函数，第4个命题错误，现在争论的焦点集中在：第1个命题是真命题还是假命题？问题：命题“若是奇函数，则必是偶函数”是真命题，还是假命题？本次省质检数学考试一结束，本校的数学组组长江志杰老师就第一时间提出了质疑，通过向有关老师反映，在泉州市省质检统一批卷时确认该题为错题，所有同学本题的得分为满分，可在最近“2014年省质检数学科反馈会”上，命题专家组进行“省质检数学科命题说明”时却坚持认为本题没错，这让很多一线老师十

4、分困惑。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，对就是对，错就是错，黑白分明，怎会出现如此大的反差？不免让人徒生“欲盖拟彰”之念想。笔者也曾就本题上传到网络千人QQ群“中国数学解题研究会”，老师们进行过热烈的讨论，但观点还是众说纷纭，这足以说明本题对于一线老师来说也是一个很大的考验。笔者思考这可能与当前高中数学有关导数与定积分的教学现状密切相关，教材重应用轻概念，对于相关知识很多人都“知其然而不知其所以然”，并未深入理解；再者高等数学中的很多知识久未接触早已生疏，出现如此场面也就不难理解了.为了使问题的辨析水落石出，笔者现将各方主要观点整理出来，并就命题者及支持者观点逐一

5、提出相关质疑，展示如下：命题者观点命题“若是奇函数，则必是偶函数”是真命题，给出反例进行是非辨析。(1)反例：，。(2)说明：虽然是奇函数，但却不是偶函数，从而认为本题的正确选项“若是奇函数,则必是偶函数”也是错误的，由此得到本题没有正确选项，是错题，应该在题干上附加条件“连续”，即改为：已知是连续函数的导函数，且.(3)是非辨析：事实上，加上条件“连续”是多余的。为了阐明这个问题，我们先来看看本题的实质是什么？本题要解决的问题是：如果（即）是奇函数，判断是否为偶函数。也就是弄清：如果一个函数是奇函数，其原函数是否为偶函数？要解决这个问题，就要弄清的原函数是什么？如果可以作为

6、的一个原函数，那么，本题的选项“若是奇函数,则必是偶函数”就是错误的，本题就是错题。但事实上，函数不但不是函数的一个原函数，而且压根儿就没有原函数。(4)科学依据：2001年6月高等教育出版社出版，华东师范大学数学系编《数学分析（上册）第三版》，由教材第71-72页连续性概念中的“间断点及其分类”、第178页不定积分中的定理8.1、定理8.2、第182页练习4及答案的相关内容得出一个结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。反驳观点1难道含有第二类间断点的函数也都没有原函数吗？举反例加以说明.对于函数，当时，函数，其在上可导，；当时，函数，其在上可导，，由此的导函数为，

7、即，这一过程清晰明了，完全按照现行高中数学教材有关导数的知识入手来解析问题本质，作为只具有高中知识层次的学生而言，不知上述说明过程有何不可？作为高三年数学的省质检问题，如果要经过判断是否是“第一类间断点的函数”才能解决，那这一个问题是不是有超纲之嫌？实际上，命题者的观点有失偏颇，由基本积分表中的积分公式可以发现：函数的原函数是，而恰是“含有第二类间断点的函数”，由此，可以构造出一个相关函数，很容易判断为非偶函数，而为奇函数，这个例子足以说明命题“若是奇函数，则必是偶函数”是假命题，所以这个省质检问题一定