直线、平面垂直的判定与性质(教师版)

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1、直线、平面垂直的判定与性质(教师版)直线、平面垂直判定及其性质-----第37讲一、知识罗列（一）直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论（二）平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理1二、案例分析题型一：垂直关系的基本问题例1：(2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α

2、，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案]①③④练习1：(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④

3、若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：选D对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又

4、a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.练习2：(2012·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥cC．a⊥α，b∥αB．α⊥β，a?α，b?βD．a⊥α，b⊥α解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.答案：C2题型二：直线与平面垂直的判定与性质例1：(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝

5、90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A练习1：m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n

6、可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④练习2:设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1C．3B．2D．4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．故选C.答案：C例2：(2012&

7、#183;广东高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，1PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝，PH为△PAD中AD边上的高．23(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如图，连