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时间:2018-10-24
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1、直线、平面垂直的判定与性质(教师版)直线、平面垂直判定及其性质-----第37讲一、知识罗列(一)直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论(二)平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理1二、案例分析题型一:垂直关系的基本问题例1:(2012·襄州模拟)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列命题:①若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线;②若m、n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线;③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α
2、,则n⊥β;④m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直.其中的假命题的序号是________.[自主解答]①显然错误,因为平面α∥平面β,平面α内的所有直线都平行β,所以β内的两条相交直线可同时平行于α;②正确;如图1所示,若α∩β=l,且n∥l,当m⊥α时,m⊥n,但n∥β,所以③错误;如图2显然当m′⊥n′时,m不垂直于n,所以④错误.[答案]①③④练习1:(2012·长春模拟)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,b?α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a?α;④
3、若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数为()A.1C.3B.2D.4解析:选D对于①,由b不在平面α内知,直线b或者平行于平面α,或者与平面α相交,若直线b与平面α相交,则直线b与直线a不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正确.对于②,由a∥α知,在平面α内必存在直线a1∥a,又a⊥β,所以有a1⊥β,所以α⊥β,②正确.对于③,若直线a与平面α相交于点A,过点A作平面α、β的交线的垂线m,则m⊥β,又α⊥β,则有a∥m,这与“直线a、m有公共点A”相矛盾,因此③正确.对于④,过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1,则有a∥a1,b∥b1,又
4、a⊥b,所以a1⊥b1,所以α⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数为4.练习2:(2012·杭州模拟)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cC.a⊥α,b∥αB.α⊥β,a?α,b?βD.a⊥α,b⊥α解析:对于选项C,在平面α内存在c∥b,因为a⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定有a∥b.答案:C2题型二:直线与平面垂直的判定与性质例1:(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=
5、90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1,AC?平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上.答案:A练习1:m、n是空间两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题的序号是________.①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β;③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β.解析:①显然正确;②错误,n还可能在β内;③错误,n
6、可能与β相交但不垂直;④正确.答案:①④练习2:设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题中正确的个数是()①若l⊥α,则l与α相交;②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.A.1C.3B.2D.4解析:由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故命题①正确;由于不能确定直线m,n是否相交,不符合线面垂直的判定定理,命题②不正确;根据平行线的传递性,l∥n,故当l⊥α时,一定有n⊥α,命题③正确;m⊥α,n⊥α,则m∥n,又l∥m,即l∥n,命题④正确.故选C.答案:C例2:(2012&
7、#183;广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,1PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=,PH为△PAD中AD边上的高.23(1)证明:PH⊥平面ABCD;(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;(3)证明:EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明:因为AB⊥平面PAD,PH?平面PAD,所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.因为PH?平面ABCD,AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)如图,连
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