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1、2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD）第六章数列2009年高考题三、解答题22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。23.（20
2、09北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.42（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）证明：，且；（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.由于都属于数集，∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于，∴，故.从而，∴.∵，∴，故.由A具有性质P可知.又∵，∴，从而，42∴.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，∵，∴，∴，由A具有性质P可知.，得，且，∴，∴
3、，即是首项为1，公比为成等比数列.24.（2009江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，则=,所以为8的约数42（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的
4、（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数≥2，有.【解析】[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。4226.（2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则,所以42下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成
5、立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.27.（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去），即，∴42（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即.28（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，
6、求的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。42（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有（1）当时
7、，求通项（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得42所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为则考察函数,则在定义域上有故对，恒成立.又,注意到,解上式得42取,即有.30.(2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。解（I）在中，令n=1，可得，即当时，，..又数列是首项和
