2011高考数学压轴题集锦1

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1、高考必备2011高考数学压轴题集锦1.已知数列满足，，且，（n=1,2,3,）.（1）求的值及数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项的和为，求证：<3.解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得当n为奇数时，不妨设n=2m1，，则，为等差数列，=1+2(m1)=2m1,即。当n为偶数时，设n=2m，，则，为等比数列，，故，综上所述，（2）两式相减：，故壹拾伍高考必备2.已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段的长为，P是的中点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．解：（1）设，，．∵P

2、是线段的中点，∴∵分别是直线和上的点，∴和．∴又，∴．∴，∴动点的轨迹的方程为．、（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，∴，①．②∵，∴壹拾伍高考必备即∴．∵与轴不垂直，∴，∴，同理．∴．将①②代入上式可得．3.已知函数。（1）求函数的定义域，并判断的单调性；（2）若（3）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。解：（Ⅰ）由题意知当当当（Ⅱ）因为由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0

3、有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+↗极大值↘极小值↗的极大值为，的极小值为③当时，在定义域内有一个实根，同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为4.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.解：（I）由条件得抛物线方程为∴把点A代入，得（II）设直线AP的斜率为，AQ的斜率为，壹拾伍高考必备则直线AP的方程为联立方程：消去y

4、，得：同理，得…是一个与k无关的定值。5.已知函数，（I）若，证明没有零点；（II）若恒成立，求a的取值范围.解：（I）由得可得在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增故的最小值，所以没有零点（II）方法一：（i）若时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，壹拾伍高考必备要使解得恒成立，只需，得（ii）若，恒成立，在是单调递减，，故不可能恒成方法二：由恒成立，得恒成设，则由得故的最大值为…要使恒成立，只需6.设函数，其中为常数．（1）证明：对任意，的图象恒过定点；（2）当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若

5、对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u解：（1）令，得，且，所以的图象过定点；（2）当时，，令，经观察得有根，下证明无其它根．，当时，，即在上是单调递增函数．所以有唯一根；且当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；壹拾伍

6、高考必备所以是的唯一极小值点．极小值是ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u（3），令由题设，对任意，有，，又当时，，是减函数；当时，，是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，又由得，得，即的最大值为．7.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长

7、为，过点的直线与椭圆相交于两点，（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围（1）由已知，所以，所以所以壹拾伍高考必备又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为所以所以（2）设设与椭圆联立得整理得得由点在椭圆上得又由,即所以所以壹拾伍高考必备整理得：所以所以由得所以，所以或8.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（3）当时，设函数，若对任意地，恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，令时，解得，所以在递增