2011高考数学压轴题集锦1.pdf

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1、高考必备2011高考数学压轴题集锦1.已知数列1nn{a}满足a=1，a=，且[3(1)]+−a=2a−2[(1)−−1]，n12n+2n2（n=1,2,3,⋯）.（1）求aaaa,,,的值及数列{a}的通项公式；3456n（2）令b=a⋅a，记数列{}b的前n项的和为T，求证：T<3.n2n−12nnnn11解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a=3,a=,a=5,a=345648当n为奇数时，不妨设n=2m1，*m∈N，则a−a=2，{a}2m+12m−12m−1为等差数列，a=1+2(m1)=2m1,即a=n。2

2、m−1n当n为偶数时，设n=2m，*m∈N，则2a−a=0，{a}为等2m+22m2m比数列，na=11i()m−1=1，故a=()12，2mmn2222*⎧n(n=2m−1m∈N)⎪综上所述，a=⎨n（2）n12*⎪()（n=2mm∈N)⎩21b=aia=(2n−1)in2n−12nn21111T=×1+×3+×5+⋯+(2n−1)in23n222211111T=×1+×3+⋯+(2n−3)i+(2n−1)in23nn+122222111111两式相减：T=+2(++⋯+)(2−n−1)in23nn+122222211(

3、1−)142n−11=+−(2n−1)i212n+11−22n+3T=3−，故T<3nnn2332.已知A、B分别是直线y=x和y=−x上的两个动点，线段33AB的长为23，P是AB的中点．壹高考必备（1）求动点的轨迹C的方程；（2）过点Q(1,0)任意作直线l（与轴不垂直），设l与（1）中轨迹������������������C交于M、N两点，与轴交于点．若RM=λMQ，RN=µNQ，证明：λ+µ为定值．解：（1）设P(x,y)，A(x,y)，B(x,y)．1122⎧x+x12x=,⎪⎪∵P是线段AB的中点，∴⎨2y+

4、y⎪y=12.⎪⎩2333∵AB、分别是直线y=x和y=−x上的点，∴y=x和113333y=−x．223⎧x−x=23,y12⎪∴⎨23⎪y−y=x.12⎩3����又AB=23，∴22(x−x)+(y−y)=12．12122∴242x212y+x=12，∴动点的轨迹C的方程为+y=1．、39（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx(−1)．设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，⎧y=k(x−1),⎪则2M、N两点坐标满足方程组⎨x2+y=1.⎪⎩9消去并整理，得2222(19+kx)

5、−18kx+9k−=90，2218k9k−9∴x+x=，①xx=．②3423421+9k19+k∵RM=λMQ，∴(x,y)−(0,y)=λ[(1,0)−(x,y)]33533即⎧x3=λ(1−x3),∴⎨x3=λ(1−x3)．∵l与轴不垂直，∴x3≠1，⎩y3−y5=−λy3.xx∴34λ=，同理µ=．1−x1−x34贰高考必备xx(x+x)2−xx∴343434λ+µ=+=．1−x31−x41(−x3+x4)+xx349将①②代入上式可得λ+µ=−．43.已知xa>0,且a≠1函数fx()=log(1−a)。a（1）求

6、函数fx()的定义域，并判断fx()的单调性；fn()（2）若*an∈N,求lim;nn→+∞a+a（3）当fx()2a=e（为自然对数的底数）时，设hx()=(1−e)(x−m+1)，若函数hx()的极值存在，求实数的取值范围以及函数hx()的极值。解：（Ⅰ）由题意知x1−a>0当01时，fx()的定义域是（−∞，0）xx-alnaaf(x)=′gloge=xax1−aa−1当xx00,故f(x)<0,′所以f(x)是减函

7、数当xxa>1时，x∈−∞(,0),因为a−<10,a>0,故fx′()<0,所以fx()是减函数（Ⅱ）因为nfn()nfn()=log(1−a),所以a=−1aa由函数定义域知n1−a>0,因为n是正整数，故0

8、)>0故无极值2当0