文科数学第三章第七节

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1、第七节　正弦定理和余弦定理第三章　三角函数与解三角形考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．课前自修知识梳理一、三角形中的各种关系设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.1．三内角的关系：________________.2．边与边关系：______________________________________________________________.3．边与角关系：(1)正弦定理：____________________＝2R.A＋B＋C＝πa＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，a－b

2、＋b2－2abcosC，b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosAsin(B＋C)－cos(B＋C)三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A<90°A≥90°a≥baba≤ba>bsinAa＝bsinAa

3、a2＞b2＋c2或A＞90°⇔钝角三角形；④若a为最大边且a2＜b2＋c2或A为最大角且A＜90°⇔锐角三角形；⑤若sinA＝sinB⇔等腰三角形；⑥若sin2A＝sin2B⇔等腰三角形或直角三角形．2．基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．基础自测2．(2012·广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝()A．4B．2C.D.3．(2012·广东六校联考)已知a，b

4、，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，且B是A与C的等差中项，则sinA________.4．(2012·衡阳市模拟)在锐角三角形ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则等于______，AC的取值范围为__________．考点探究考点一用正弦定理求边、角【例1】(1)(2012·四川卷)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()(2)(2012·泉州市质检)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC周长的最大值为________.变式探究1．(1)(2011·漳州市模拟)△ABC的内角A，B，C的

5、对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A.B．2C.D.(2)(2011·深圳市二模)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点二用余弦定理求边、角【例2】(1)(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.(2)(2012·北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.思路点拨：已知两边及其夹角，求第三

6、边或已知三边求其内角，用余弦定理来求．变式探究考点三正(余)弦定理、三角形面积公式的应用【例3】在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．变式探究3．(1)(2012·厦门市质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝，且sinA:sinC＝3:1，则b:c的值为()A.B．2C.D．7(2)(2012·日照市模拟)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，则△ABC的面积S的最大值为____________．考点四求三角形的

7、面积变式探究4．(1)(2011·新课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为______．(2)(2011·安徽卷)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为______．考点五三角形形状的判定【例5】(2012·上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定(2)在△ABC中，bcosA＝acosB，则三角形的形状是___