第三章第七节

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1、第七节　正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosB2RsinA2RsinB2RsinCSinA∶sinB∶sinC解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？【提示】应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2

2、－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.【答案】A【答案】A【解析】∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sinBsinB，即sinAcosA－sin2B＝0，∴sinAcosA－(1－cos2B)＝0，∴sinAcosA＋cos2B＝1.【答案】D4．(2011·课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．利用正弦、余弦定理解三角形【思

3、路点拨】(1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB，进而求出角B.1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．如图3－7－1所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．(2012·广州模拟)在△ABC中，a，b

4、，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正余弦定理，将条件统一为角的关系，然后求角，进而判定△ABC的形状．判定三角形的形状1．(1)本题易忽视角A、B、C的范围，导致推理求值缺乏严谨性．(2)分别以sinB＋sinC，sinB·sinC作为整体处理，优化解题过程．2．判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，化成纯粹的边或纯粹的角之间的关系再判定，但应注意无论哪种方法，在化简的过程中，不要随意约掉公因

5、式，否则会出现漏解的情形．与三角形面积有关的问题从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与三角函数交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．求解这类问题，要注意三角形中隐含条件的制约作用．1．(2011·安徽高考)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．课时知能训练