第三章 代数学的进步

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1、第三章代数学的进步3.1解方程的故事墓中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生历程。上帝赐予他的童年占六分之一，又过了十二分之一他的两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛。五年之后喜得贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及2其父亲之半便入黄泉。悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他走完了人生的旅途。上面这段话是希腊数学家丢番图的碑文。根据我们以前学过的代数知识，设丢番图的年龄为x，列出方程从而推算出这位数学家活了84岁。代数学历史悠久，根据现存的一块汉穆拉比时代（公元前18世纪

2、）的泥板，得知古巴比伦人已经知道某些二次方程的解法。而古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。该书解决了某些一次、二次方程和不定方程问题。出现了缩写符号和应用负数的例子。其问题构思巧妙，解题方法多样，但最大的缺点是没有解方程的一般方法。它所保罗的189个问题中所出现的特殊数字是有特殊作用的。每一个问题要用只适用于它自身特殊数字的特殊而往往又很奇特的办法来求得其答案。有人打趣的说：研究丢番图的100道题之后，还步不知道怎样去解第101题。直到中世纪的阿拉伯数学家才系统研究了二次方程

3、的解法，建立了解方程的变形法则。还特别创造了三次方程的几何解法。期中花拉子米是中世纪时期对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。他的名著《代数学》第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明。很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样

4、，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。故事中第一个出场的人物是一位大学教授，名字叫费罗(ScipionedelFerro,1465－1526)。他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即

5、发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了。菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店”的

6、招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚(NiccoloTartagliaofBrescia,1499－1557)出现在他的面前。塔塔利亚这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。那时他还只有13岁。然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成就。1534年他宣称自己已得到了形如x3+mx2

7、=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了。二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在

8、我们的故事中以不体面的方式先行退场了。塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题。或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向。这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(GirolamoCardano,1501－1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物。他的本行