代数学引论答案第三章

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1、1.(&3d8)1)lu`ERy1−abW

2、a1−baHW

3、−1a(1−ba).R01−abb

4、%a(1−ba)=(1−ab)a⇒a=(1−ab)−1−1.b#1=1−ba+ba=1−ba+b(1−ab)a(1−ba)=[1+b(1−ab)a](1−ba),1−baW

5、2.(&3d8)2)`ERr℄$uWX

6、lu:kÆ+%(1)uW-Z7$X

7、(2)u7ylRt(3)u3(1)⇒(2):u1,u20u$,$X

8、uu1=uu2=1u16=u2,=u(u1−u2)=0,r06=u1−u2∈R,u0ylRt(2)⇒(3):u0

9、ylRt`b6=0,#ub=0.u03auWy

10、`ub=0j),yu$y

11、#b=0,q,=u3(3)⇒(1):u10u$X

12、uu1=1.Ru3%u1u6=1⇒u1+1−u1u6=u1.Yu(u1+1−u1u)=uu1+u−uu1u=1+u−u=1,u1+1−u1u0Zu1$u$X

13、=uW-Z7$X

14、3.(&3d8)4)m7TGER$tl℄<R$7f`3TGEy4i`3TGERyR$tl℄'<R$7f1h0H={a

15、a!∈M2(C)a!0tl℄}.!000101,22a=10,b

16、=00aa=b=0,a+b=10b

17、a,b∈H,a+b/∈H,%HR$f4.(&3d8)5)F07(ip$p0$!lu(a+b)p=ap+bp,+%Wa,b∈F.1ppp−11p−22V/A`'fW(a+b)=a+pab+2·1p(p−1)ab+···+pabp−1+bp,p(p−1)(p−2)···(p−r+1)1jA.rR$A$9!01·2···r,(1≤r

18、t⇒p

19、i,1≤i≤r,.r

20、ps⇒t

21、s,

22、rRA$9!0p$!b#`(i0p$FrRA00,=(a+b)p=ap+bp,∀a,b∈F.1124~1.(&3d8)7)I,H,N0ER$flu(H+N)·I=H·I+N·I,I·(H+N)=I·H+I·N.;lu(H+N)·I=H·I+N·I.
P%y)APZX)Pai∈H,bi∈N,ci∈I,a(H+N)·Ir℄i(ai+bi)ci=iaici+ibici`H·I+N·IrPP′∈I,′
%PX)APZy)cjaH·I+N·Ir℄iaici+jbjcj=(a+0)c+(0+b)c′iiijjj`(H+N)·Ir.(H+N)·I=H·

23、I+N·I.,fblI·(H+N)=I·H+I·N.2.(′&3d8)8)η:R→R7p$E,'.SR$3℄$1′T"3℄$1.o:kv)$kB7k$9lu7$^1h(1)′a∈Rtl(t%)℄aη(a)HR$tl(t%)℄(?E$2℄$rCr=r,arVzÆ).′(2)a∈RlRtaη(a)HR$lRt(3)′R0jEaη(R)=RHjE(4)′η(R)=R0jEaRHjE(5)′u∈R03aη(u)HR$3(6)′η(u)R$3auHR$3nnn(1)ka=0,a0tl℄a(η(

24、a))=η(a)=η(0)=0,222η(a)0tl℄a=a,a0t%℄a(η(a))=η(a)=η(a),η(a)0t%℄!a0(2)71h:R={

25、a,b,c∈Z},a

26、Emη:R→Z,7→a,rZ01bc!100j!Eaη0p$E,'η(01)=1Z$3℄R02!!!!10001010=0,%R$lRtη()=100010000Z$lRt(3)71h:η:Z→Z/(6)0up,'rZ0jER02·3=0,Z/(6)WlRt%Z!/(6)jE!a0a0(4)71h:R={

27、a

28、,b,c∈Z},η:R→Z,7→bcbc!!1000a,rZ0j!Eaη0p$E,'R0=0,0001RrWlRt%RjE(5)k+Z3u∈R,uv=vu=1,aη(u)η(v)=η(uv)=1′=η(vu)=η(v)η(u),′η(u)HR$!3!a0a0(6)71h:R={

29、a,b,c∈Z},η:R→Z,7→bcbc!10a,rZ0j!Eaη0p$E,'u=,b#η(u)=