数学问题杂谈 (33)

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1、第二章若干数学问题中的数学文化第一节毕达哥拉斯学派与1一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年）毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。2毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)3毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。4相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。52.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯

2、欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。62）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。3）毕达哥拉斯定理即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。7中国关于勾股定理的贡献《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除

3、之，得邪至日。”89中国数学史上最先完成勾股定理证明的，是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图10弦图1112西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。133.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说1）“万物皆数”学说①数，是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。②任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位t。142）实例①形数三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；如图15三边形数四边形

4、数五边形数六边形数16“形数”体现了数与形的结合。[思]：找出三边形数、四边形数、五边形数、六边形数等各种“形数”的尽可能多的规律。17毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，加强了数学中的理论化倾向。毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，自然现象可以通过数学来理解。18②多个场合下的小整数比ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得到谐音。19ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）只有三种情况：环绕平

5、面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：20毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。21二、与第一次数学危机但是，对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是。221.的发现和危机的产生1）一个不能表成整数比的数根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为，则，推出。如图:C1123下边我们证明，当时，不能表成整数比。如果不然，有两个正整数和使（不妨设是既约分数即）。两端平方得，即。由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，∴是偶数。24因“既约”，不

6、能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇数而不能被4整除，右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。[注]：这是“反证法”的开始。252）不可公度的线段设正方形的边长为，对角线长为，如图：daa26根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是的整数倍，例如,,这里，是整数.27由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。所以，不可能存在长度为的线段，使得且。于是，与就是不可公度线段。283）危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的希帕索斯(Hippasus)294

7、）无理数像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。30称两个整数之比为有理数，而把一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。rationalnumber是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把