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时间:2018-10-20
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1、第二章若干数学问题中的数学文化第一节毕达哥拉斯学派与1一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年)毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。2毕达哥拉斯(公元前570年~公元前500年)3毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织,但也致力于哲学与数学的研究,促进了数学和理性哲学的发展,并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。4相传“哲学”(希腊原词意为“智力爱好”)和“数学”(希腊原词意为“可学到的知识”)这两个词是毕达哥拉斯本人所创。52.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1)数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯
2、欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测,欧几里得《几何原本》前两卷的大部分材料,来源于毕达哥拉斯学派。62)数学抽象的提出从实物的数与形,抽象到数学上的数与形,本身就把数学推向了科学。3)毕达哥拉斯定理即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。7中国关于勾股定理的贡献《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话,商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子(约公元前6、7世纪)的对话中,则包含了勾股定理的一般形式“……以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除
3、之,得邪至日。”89中国数学史上最先完成勾股定理证明的,是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》,作“勾股圆方图”,其中的弦图,相当于运用面积的“出入相补”方法,证明了勾股定理。如图10弦图1112西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书,收集了勾股定理的370种证法。133.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说1)“万物皆数”学说①数,是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”,是指自然数,即正整数,同时还包含它们的比,即正分数。②任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”,意即有公共的度量单位t。142)实例①形数三边形数、四边形数、五边形数、六边形数;如图15三边形数四边形
4、数五边形数六边形数16“形数”体现了数与形的结合。[思]:找出三边形数、四边形数、五边形数、六边形数等各种“形数”的尽可能多的规律。17毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说,加强了数学中的理论化倾向。毕达哥拉斯学派相信,造物主是按照数学来创造世界的,自然现象可以通过数学来理解。18②多个场合下的小整数比ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦,若其长度成小整数比,就会发出谐音。例如,1︰2时短弦的音高8度,2︰3时短弦音高5度,3︰4时短弦音高4度;当三根弦的长度之比为3︰4︰6时,就得到谐音。19ⅱ同名正多边形复盖平面的情形(即铺正多边形地砖的情形)只有三种情况:环绕平
5、面上一个点可以紧密地放6个正三角形,或者4个正方形,或者3个正六边形,如图:20毕达哥拉斯学派确信:“宇宙的和谐在于数”,神是以数的规律创造世界的。21二、与第一次数学危机但是,对“万物皆数”理论产生冲击的,却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现,用现在的符号,这就是。221.的发现和危机的产生1)一个不能表成整数比的数根据毕达哥拉斯定理,边长为1的正方形,其对角线长度若记为,则,推出。如图:C1123下边我们证明,当时,不能表成整数比。如果不然,有两个正整数和使(不妨设是既约分数即)。两端平方得,即。由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数,∴是偶数。24因“既约”,不
6、能再是偶数,于是是奇数。这样的左端,因是奇数而不能被4整除,右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。[注]:这是“反证法”的开始。252)不可公度的线段设正方形的边长为,对角线长为,如图:daa26根据毕达哥拉斯定理,。如果存在第三个线段长为,使得和都是的整数倍,例如,,这里,是整数.27由得,从而,又可以类似于上一个证明导出矛盾。所以,不可能存在长度为的线段,使得且。于是,与就是不可公度线段。283)危机产生,封锁消息希帕索斯泄露秘密,被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的希帕索斯(Hippasus)294
7、)无理数像这样的数,和其它一些不能表成整数比的数,称为无理数。30称两个整数之比为有理数,而把一类数叫做无理数,即没有道理的数,原来是翻译出了问题。rationalnumber是有理数的英文名称,而rational是一个多义词,含有“比的”,“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文,完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前,唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”,都是自然数。把
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