一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

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1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么说明：（1）定理成立的条件（2）注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：由题意，根据

2、根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;6．设x1,

3、x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)－7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5           xy=6   解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3                x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的

4、取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4∴为所求。【典型例题】例1已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5∴所以，当时，方程两实根的积为5．(2)由得知：①当时，，所以方程有两相等实数根，故；②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要

5、注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．例2已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．解：(1)假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根∴，又是一元二次方程的两个实数根∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2)∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2)本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．一元二次方程根与系数的关系练

6、习题A组1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()A．B．C．D．2．若是方程的两个根，则的值为()A．B．C．D．3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()A．B．C．D．4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A．B．C．D．大小关系不能确定5．若实数，且满足，则代数式的值为()A．B．C．D．6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程的两根之差为1，则的

7、值是_____．9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．13．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为，且满足，求的值．14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是时，求的值．B组1

8、．已知关于的方程有两个不