浅析函数的定义

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1、浅析函数的定义高中函数概念是在集合的基础上对函数进行了重新定义，对于刚上高中的学生来说，这是一个抽象且难以理解的概念。有的学生虽然定义背得挺熟，却理解不深，为后面知识的学习带来许多障碍，所以有必要对函数定义做深入分析，帮助学生加深理解。下面我结合十多年的教学实践，以及学生在学习函数概念中遇到的困难，对函数定义加以分析，希望能起到抛砖引玉的作用。　　一、对于函数定义的认识　　高中函数概念是现代数学的基本思想之一，它渗透到了数学的一切领域。它是数学知识体系的基础，但它也是学生数学学习中最难掌握的概念之一。函数概念具有复杂性，同时还有与之相应的很多子概念。教科书为了定义函数概念而设置的各种

2、不同引入情境，如箭头、表、代数描述、映射等等是大家熟悉的。所有这些处理方法在教学实践中学生却不太好理解。这里，函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”。这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的。函数定义把严格的形式强加给了学生，而学生缺乏认知准备，并且在学习中也没有得到理解定义所必须经历的过程，因此，教师并没有给学生营造理解函数定义的环境。这样，学生虽然能够背诵定义但却对定义理解不深，导致函数学习中困难重重。　　二、函数定义学习困难产生原因　　函数定义是在初中开始学习的，当时的定义是用变化的观点，把x,y看

3、成两个变量，而在高中函数定义是以集合为基础进行重新定义。函数概念变得非常抽象，同时引入了一些数学符号和公式。学生常常对这些从来没见过的符号和公式产生畏难情绪。看到那么多他们不熟悉的符号和公式，他们就会觉得难！这种感受在我们的学生中比较普遍，而且学生对数学内容的这种感觉与他们熟悉的日常语言之间的差异很大。数学语言具有很大的抽象性，这种抽象性常常是造成许多学生数学学习理解上的障碍，从而让学生的学习陷入困境。　　三、函数定义内涵分析　　对于函数概念的掌握，如果只让学生凭记忆和一些练习来实现概念的理解，是无法让学生内化和掌握这个概念的。函数内容一直都是中学数学的核心内容，也是学生感到最难学的

4、内容，如何帮助学生克服函数学习的困难，需要弄明白以下问题：　　（一）在函数定义中“某个确定的对应关系f”解析　　这个“f”也令许多初学者倍感困惑，感到抽象，不容易理解。为了便于理解，我们可以选用学生熟悉的具体函数来印证，以此突破学生理解上的障碍。　　■　　比如以y=2x为例，与函数定义进行对照，如图1。由于y=2x的定义域为实数集Ｒ，故我们不妨把集合Ａ，Ｂ均设为实数集Ｒ。　　先根据函数y=2x给定一个x值，则把x值乘以２就能求出一个相应的y值，让学生观察图1，集合Ａ中的元素是x值，那么这个x值按什么关系与集合Ｂ中的元素对应呢？显然是“乘以２”。那么函数定义中所说的“对应关系f”就是“

5、乘以２”。这样把抽象的知识具体化、形象化，便于学生理解、消化。　　（二）函数定义中“使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应”的分析　　这是函数定义中的灵魂和核心，也是一个对应关系成为映射的条件。人教Ａ版中是先函数后映射，更进一步弱化了映射的教学，这显然是让学生更加专注于函数的概念，使这块知识更具纯粹性。为了让学生更好地理解这句话，可以设计两个具体函数y=2x和y=x2，让学生观察在给定的对应关系f下，集合Ａ到集合Ｂ的对应是否满足“使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应”这一条件。　　■　　让学生先正面理解两个集合“一对一”和

6、“一对多”这两种情况，然后再举一个“多对一”不满足这个条件的例子,用反例让学生加深理解。反例很多，这里不再赘述。　　总之，函数定义的内涵博大精深，外延也丰富多彩。以上是针对学生在函数概念学习中产生障碍的原因以及解决方法的分析。只要我们教师把函数定义加以具体化，就会使学生更容易理解。学生就会学好函数定义并为后续的学习打下坚实的基础。　　（责编闫祥）