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时间:2019-08-10
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1、高中数学幂函数的定义编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】1.幂函数的概念:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数。注意:幂函数与指数函数的区别。2.幂函数的性质:(1)幂函数的图象都过点;任何幂函数都不过象限;(2)当时,幂函数在上;当时,幂函数在上;(3)当时,幂函数是;当时,幂函数是。【典例精析】例题1已知f(x)=,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)二次函数?(4)幂函数?(5)在(4)的条件下,满足在(0,+∞)上单调递增?思路导航:本题考查函数的定义,需要注意幂函数的系数
2、必须为1。答案:(1)若f(x)为正比例函数,则⇒m=1。(2)若f(x)为反比例函数,则⇒m=-1。(3)若f(x)为二次函数,则⇒m=。(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±。(5)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,,∴m=-1-。例题2已知幂函数f(x)=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足<的a的取值范围。思路导航:解答此类问题可分为两步:第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数a的取值范围。答案:∵函数在(0,+∞)上
3、递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3。∵m∈N*,∴m=1,2。又函数的图象关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数,而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,第4页版权所有不得复制∴m=1。而在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,∴等价于a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a。解得a<-1或<a<。故a的取值范围为{a
4、a<-1或<a<}。点评:本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。例题3已知m∈N*,函数f(x)=(2m-m2)
5、·在(0,+∞)上是增函数,判断函数f(x)的奇偶性。思路导航:(1)幂函数y=的特点:①系数必须为1;②指数必须为常数。(2)幂函数的单调性:①当α>0时,y=在(0,+∞)上为增函数;②当α<0时,y=在(0,+∞)上为减函数。答案:由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,得或即或∴6、是自变量,底数是常数。(答题时间:15分钟)1.已知幂函数y=f(x)通过点(2,2),则幂函数的解析式为()A.y=2B.y=C.y=D.y=2.下列命题中正确的是()A.当时函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限3.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)第4页版权所有不得复制4.已知幂函数f(x)=xm的部分对应值如表所示,则不等式f(7、x8、)≤9、2的解集为()x1f(x)1A.{x10、011、0≤x≤4}C.{x12、-≤x≤}D.{x13、-4≤x≤4}5.设x∈(0,1),幂函数y=xa的图象在直线y=x的上方,则实数a的取值范围是______。6.已知函数(m∈Z)为偶函数,且f(3)14、。3.A解析:因为0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1,∴0<0.71.3<1.30.7。又(0.71.3)m<(1.30.7)m,∴函数y=xm在(0,+∞)上为增函数,故m>0。4.D解析:由表中数值,可先求出m的值,然后由函数的奇偶性及单调性,得出不等式,求解即可。由()m=,得m=,∴f(x)=,∴f(15、x16、)=,又∵f(17、x18、)≤2,∴≤2,即19、x20、≤4,∴-4≤x≤4。5.(-∞,1)解析:由幂函数的图象知a∈(-∞,1)。6.解:∵f(x)是偶函数,∴应为偶数。又∵f(3)21、又∵m∈Z,∴m=0或1。当m=0时,为奇数(舍去);当m=1时,为偶数。故m的值为1,解析式为。解析:函数(m∈Z)为偶函数,已限定了必为偶数,又m
6、是自变量,底数是常数。(答题时间:15分钟)1.已知幂函数y=f(x)通过点(2,2),则幂函数的解析式为()A.y=2B.y=C.y=D.y=2.下列命题中正确的是()A.当时函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限3.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)第4页版权所有不得复制4.已知幂函数f(x)=xm的部分对应值如表所示,则不等式f(
7、x
8、)≤
9、2的解集为()x1f(x)1A.{x
10、011、0≤x≤4}C.{x12、-≤x≤}D.{x13、-4≤x≤4}5.设x∈(0,1),幂函数y=xa的图象在直线y=x的上方,则实数a的取值范围是______。6.已知函数(m∈Z)为偶函数,且f(3)14、。3.A解析:因为0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1,∴0<0.71.3<1.30.7。又(0.71.3)m<(1.30.7)m,∴函数y=xm在(0,+∞)上为增函数,故m>0。4.D解析:由表中数值,可先求出m的值,然后由函数的奇偶性及单调性,得出不等式,求解即可。由()m=,得m=,∴f(x)=,∴f(15、x16、)=,又∵f(17、x18、)≤2,∴≤2,即19、x20、≤4,∴-4≤x≤4。5.(-∞,1)解析:由幂函数的图象知a∈(-∞,1)。6.解:∵f(x)是偶函数,∴应为偶数。又∵f(3)21、又∵m∈Z,∴m=0或1。当m=0时,为奇数(舍去);当m=1时,为偶数。故m的值为1,解析式为。解析:函数(m∈Z)为偶函数,已限定了必为偶数,又m
11、0≤x≤4}C.{x
12、-≤x≤}D.{x
13、-4≤x≤4}5.设x∈(0,1),幂函数y=xa的图象在直线y=x的上方,则实数a的取值范围是______。6.已知函数(m∈Z)为偶函数,且f(3)14、。3.A解析:因为0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1,∴0<0.71.3<1.30.7。又(0.71.3)m<(1.30.7)m,∴函数y=xm在(0,+∞)上为增函数,故m>0。4.D解析:由表中数值,可先求出m的值,然后由函数的奇偶性及单调性,得出不等式,求解即可。由()m=,得m=,∴f(x)=,∴f(15、x16、)=,又∵f(17、x18、)≤2,∴≤2,即19、x20、≤4,∴-4≤x≤4。5.(-∞,1)解析:由幂函数的图象知a∈(-∞,1)。6.解:∵f(x)是偶函数,∴应为偶数。又∵f(3)21、又∵m∈Z,∴m=0或1。当m=0时,为奇数(舍去);当m=1时,为偶数。故m的值为1,解析式为。解析:函数(m∈Z)为偶函数,已限定了必为偶数,又m
14、。3.A解析:因为0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1,∴0<0.71.3<1.30.7。又(0.71.3)m<(1.30.7)m,∴函数y=xm在(0,+∞)上为增函数,故m>0。4.D解析:由表中数值,可先求出m的值,然后由函数的奇偶性及单调性,得出不等式,求解即可。由()m=,得m=,∴f(x)=,∴f(
15、x
16、)=,又∵f(
17、x
18、)≤2,∴≤2,即
19、x
20、≤4,∴-4≤x≤4。5.(-∞,1)解析:由幂函数的图象知a∈(-∞,1)。6.解:∵f(x)是偶函数,∴应为偶数。又∵f(3)21、又∵m∈Z,∴m=0或1。当m=0时,为奇数(舍去);当m=1时,为偶数。故m的值为1,解析式为。解析:函数(m∈Z)为偶函数,已限定了必为偶数,又m
21、又∵m∈Z,∴m=0或1。当m=0时,为奇数(舍去);当m=1时,为偶数。故m的值为1,解析式为。解析:函数(m∈Z)为偶函数,已限定了必为偶数,又m
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