2014高中数学奥数培训资料之梅涅劳斯定理

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1、2014年东安一中高一直升班奥赛培训陈雄武第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理1．背景：Menelaus定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.2．定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点，则:3．说明：（1）不过顶点的直线与三角形3边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式.（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置

2、的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.4．记忆：.5．证明：（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过作交延长线于，∵，∴，，∴，∴.（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过、、作、、垂直已知直线，由直角三角形相似比，易知、、，∴.（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）.6．推广：（1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点D、E、F分别在三角形ABC的三边或其延长线，且满足：，则三点D、E、F在同一直线上.42014年东安一中高一直升班奥赛培训陈雄武（2）角元形式的梅涅

3、劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点，则三点DEF共线等价于.7．定理的应用：例题1：已知过顶点的直线，与边及中线分别交于点和，求证：.证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：，又，∴，则.[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC中，AG是角平分线，D是BC中点，DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=．例题2：已知过重心的直线分别交边、及延长线于点、、，求证：.证明：连接并延长交于，则∵截，∴由梅氏定理得，；同理：∴，，∴，即.42014年东安一中高一直升班奥赛培训陈雄武变式练习２：（塞瓦（

4、Ceva）定理）在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，求证：．8．逆定理的应用（证明三点共线）：例题1：若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线.证明：由三角形内、外角平分线定理知：，，，则，故、、三点共线.变式练习１：（帕斯卡（Pascal）定理）圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）42014年东安一中高一直升班奥赛培训陈雄武例题2：（莱莫恩（Lemoine）定理）过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线.证明：∵是

5、⊙的切线，∴∽，∴，则，同理：，∴，故、、三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson）定理）若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线）.4